“就汤下面”策略.doc

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1、“就汤下面”策略函数、导数与不等式压轴题的综合性较强，难度较大，通常会设置两问或三问，并且大多具有递进式结构．在处理这类试题的第II问或第Ⅲ问的时候，常常要用到前面第I问或第二II问的结论或方法，这种顺势而为的解题策略可把它叫做“就汤下面”．利用“就汤下面”策略进行解题的基本思路是注意把前一问的结论作为后续问题的引理，或者从前述问题中引进方法．具体如何进行“就汤下面”呢？或者说如何入手呢？下面看几道题目：1．考虑特殊情形题1：已知函数（1）若在上恒成立，求的取值范围；（2）证明：．思路分析：（I）构建函数，求导后分类讨论进

2、行验证容易得出的取值范围为．（Ⅱ）由（I）可知：当时，有令，有且当时，令，有即将上述个不等式依次相加得整理得．点评：第I问结论是不等式恒成立时，参数的取值范围为．这里将会得到很多个函数不等式，对于内取定的任何一个6值，都会得到一个函数不等式；在处理第Ⅱ问时，就把第I问的结论中的特殊化，取，得到时，，再把取特殊值，取，．这里有多次特殊化的思想，先把含参数的函数不等式转化成普通函数不等式，再把普通函数不等式转化成为数列通项不等式，最后累加即可．2．寻找必要条件题2：设函数（其中）的图像在处的切线与直线垂直．（I）求函数的极值与

3、零点．（Ⅱ）设，若对任意，存在，使成立，求实数的取值范围；（Ⅲ）若，且，证明：．思路与分析：（I）容易求出极小值=极大值，又因为，所以函数的零点是．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当时，，“对任意，存在，使”等价于“在[0，1]上的最小值大于在上的最小值，即当时，”．第Ⅱ问是求参数的取值范围，通常需要先求导，因为，下面需对分类讨论这较麻烦，此时可以考虑对代一个值，所求出的的范围应该就是必要条件，至充分性就需要验证或分类验证或排除，但是它缩小了求解范围，因为时，恒成立，所以实数的取值范围是．6（Ⅲ）证明：由（I）知，当时，，即当，且时，，

4、所以以下根据，容易证明．点评：寻找必要条件实际上是逻辑推导的一种理论依据，也是思考过程中的一种方法体现．它在许多方面都有着广泛的应用．在恒成立问题中求解参数取值范围时，常常把主变量代入一个值，将会得到参数的某个范围，这个范围就是必要条件；若能寻找出“精确”的必要条件，一方面能帮助我们揭示问题本质，一方面又能“缩小求解范围”，大大提高算法效率．如何寻找“精确”的必要条件，其本身并没有固定的方法准则，这就要求我们在分析问题时，要勤于思考，善于发现，在实践中总结提高．3．研究关键切线题3：已知（I）若直线为曲线的切线，求实数的值

5、；（Ⅱ）当时，设，且，若不等式恒成立，求实数的取值范围．思路与分析：第I问可得出；在处理第Ⅱ问时，当时，，是切线，并且这个切线很关键，切点是（2，2），曲线在的下方．这是应该有结论：当时，．可以用求差法证明．余下易得出，从而的最小值是42．点评：函数的切线，特别是关键处的切线是重要的直线，很值得研究．在图像上对函数有分隔作用，这里一定可以找到恒成立的不等式的．4．构建新的结论题4：已知函数为常数)，曲线在与轴的交点处的切线斜率为．（I）求的值及函数的单调区间；6（Ⅱ）证明：当时，；（Ⅲ）证明：当时，．思路与分析：（I）容易

6、得出，函数在区间上单调递减，在上单调递增．（Ⅱ）证明：由（I）知所以，即令，则所以在上单调递增，所以，即．（Ⅲ）首先证明：当时，恒有．证明如下：令，则由（II）知，当时，，所以，所以在上单调递增所以，所以．所以，即依次取，代入上式，则．以上各式相加有所以所以，即．点评：第Ⅲ问题中构造了一个新的结论“当时，恒有”；这个结论是通过类比或联想第I问并结合第Ⅱ问构建的，这对能力要求较高．以上举的几个例子，简单的介绍了函数类压轴问题的“就汤下面”策略的一些入手思考方法．我们在利用“就汤下面”策略来处理函数、导数与不等式压轴题时，一定

7、要把前后问联系起来看，要善于观察与思考，要找到突破口或者说找到题眼．“就汤下面”6策略的应用途径太多，具体问题需具体分析，这就是能力要求．裴光亚老师曾说过“我们需要套路，但又不能拘泥于套路．否则，套路可能遮蔽我们的眼睛，连最显然的结果都视而不见”．若“就汤下面”实在不行或不好，我们是可以“另起炉灶”的．下面几道题可供练习：练习1：已知为自然对数的底）（1）求的最小值；（2）是否存在常数使得对任意的正数恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．答案与提示：（1）的最小值是；（II）由第1问的结论知，曲线只有一个公共点，

8、再在此处找公切线．练习2：（I）已知函数，使，求实数的取值范围；（Ⅱ）证明：，其中；（Ⅲ）设表示不超过的最大整数，证明：．答案与提示：（I）实数的取值范围为．（Ⅱ）由（I），知，即取，即．从而且时，有再令，令，可得结果．（Ⅲ）由（II），得．令，得．练习3：已知函数．6（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）比较与的大小；