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1、EquationChapter9Section1§9.1含时微扰理论（量子跃迁理论）第八章讨论了分立能级的能量和波函数的修正，所讨论体系的H?不含时间，因而求解的是定态薛定谔方程。本章主要讨论体系哈密顿算符含有时间的微扰理论。1、适用情况体系H?t由H?o和HTt这两部分组成：H?t二H?t（9.1.1）其中H?0为与时间无关，无微扰哈密顿算符，其本征值与本征函数为已知，本征方程为砂dr，En为分立能级，第n个定态波函数为4J—.Et丫戸斗小.小4r,^"nren，薛定谔方程为inr,t二r,t°HT
2、t显含时间，且要求HTt%"H?0，并且H?t随时间变化，此时体系能量不是守恒量，体系不存在严格的定态。此时求解定态薛定谔方程是很困难的，要求解含时薛定谔方程iiVirRt'-r,t（9.1.2）:t这时体系能量随时间变化，我们不再讨论能量，主要讨论跃迁几率2、跃迁几率与跃迁几率（振）幅t时刻将*r,t按h?o的本征函数系nr完全展开；览7ent'nrn八anteLnr（9.1.3）n二Xant:-：Jnr,tn相当于选取了能量表象。上式相当于将体系波函数■-r,t按H?o的定态波函数1仁r,t做完全
3、展开，展开系数ant；」nr,tLt：。根据展开假设22jEnt2Cn（tj=an（t怜蛊=an（t），表示t时刻，测量能量值为En的几率。即体系彳'I—Itf，处于nr态的几率。同理，处于'mr态的几率为amtI即叮%，,t「nre于"假设t=o,t：：：0（原来无微扰，）初态（H?o）体系处于H?oi的第k个本征态：.：s：,0=■；:r。这时（t-0）加入微扰H?t的作用，在h?t=h?0■孑t的作用下，在t时刻（经时间t的作用）体系处于冷r态的几率为an（t。显然微扰H?'（t）的作用：是
4、使体系由初态）变成了体系」2的另一个态t（r态，这个过程称为跃迁。跃迁几率为am（tJ。跃迁几率W^m是指体系在Ht的作用下从t=0的初态'k跃迁到t时刻的末态'm态的几率，它等于2体系处于监的几率。Wk_m三
5、am（t
6、，am（t）称为跃迁几率振幅或几率幅，含时微扰论主要就是求跃迁几率问题，即求amt，称为跃迁几率振幅或几率幅。跃迁速率Wkm=dWkm，即单位时间的跃迁几率。dt跃迁问题的实质就是在给定的初始条件下，经过一段的微扰作用，求解薛定谔方程，求出体系从初态到末态的跃迁几率。即体系开始处于H
7、?0（不显含时间）的某本征态k,t—0开始施加HTt微扰作用，求t时刻体系处于H?0另一个本征态m的几率。然后谈一下与不含时微扰的区别，含时微扰主要讨论从初态的无微扰情况，经t时间的微扰作用跃迁到末态的情况；定态微扰主要讨论一直在微扰作用下能级的情况，不讨论从无微扰到有微扰的变化过程。3、几率幅方程25将.It按:•：-nr,t的展开式（9.1.3）代入含时薛定谔方程（9.1.2）式，可得ant:：Jnr*,t二H?t"ant"nr,tn整理得::t存GnAdaJant-：'nr，t八antH?。仁'
8、,t'a.t呂t%；,tndt:tnn其中inr*,t二H°「nr,t,因此上式变为；t忙九人彗二KtH?fn^t以:•：梟r,t左乘上式两边，然后对全空间积分。相当于以亍:r,t与上式做内积,得到加-~nr：；Jm:,t4It■八ant］护n^,tHtn^,t■'ndtn对空间积分，时间部分可提出，因此，上式可整理成请'~adt~m:n；.：=7ant「nH^tr..eEm_En'ndtn则几率幅方程为^_dam±=XantHmn&Em_Entdtn1令-mnEm-En或En方mn，根据物质波E"
9、•，显然，•mn有频率的量纲，所以mn玻尔频率（体系从En能级跃迁到末态Em能级的频率），该方程是薛定谔方程的等价形式，能量表象中的薛定谔方程。其中：跃迁的玻尔频率：1■m^1Em-En，跃迁的微扰阵元Hmn=「mHtn7.，¥tnrd-到目前为止，并无近似，无论H?•是否为微扰，几率幅方程均成立。4、用含时微扰论求跃迁的一级近似解为了得到体系在微扰作用下从初态跃迁到末态的几率，需要解几率幅方程。八antHmngn25这是一个无近似的精确方程，只有H?。的本征函数或能级有少数几个时（m,n小）勉强可求
10、解，否则不能精确求解。H?•为微扰小量，可以用微扰论逐级近似求近25似解，即迭代法。首先在几率幅方程中，点•为小量，略去Hmn，得零级近似方程询些，可求出几率幅的零级近似a；t。其次，将已求出的零级近似2525几率幅a,t（作为已知）代入原几率幅方程右边，得一级近似方程=L諾扯）Hmne“nt，可求出几率幅的一级近似a；*）。再次，将求出dtn的am）（t）作为已知，再代入原几率幅方程的右边，得二级近似方程请八an1tHmnei朋，可求出几率幅的二级近似
