2、准确成步，而对于至少一个m+1次多项式等号不成分，则称此公式的代数精度为m.代数精度的求法:/（x）=i,x,x2,x3,...,验证求积公式是黑藕鬻一个不成立的等式是X%则其代例1：确定如下求积公式的待定系数A。、AjA2,使其代数精度尽可能高。j{x}dx~Aof(—1)+f(0)+A?/。).解:4=1/3A1=4/3.4=1/3取f(x)=1,X,X2,有Ao+A+-2JL<—An+=0VZAn+A?=2/3u乙则Pf(x)dx=[/(-1)+4xf(0)+f(l)]/3.取捡曰3,左=右二。，但f（x）=x4时，左二j/x4dx=2/5
3、w右=2/3,所以求积公式具有3次代数精度。例2：选择常数a,使如下求积公式代数精度尽量高:Johf(x)dx=h[f(O)+/(h)]/2+ah2[f(O)-f'(h)].解：f(x)=1,左=h=h(1+1)/2=右；mf(x)=x,£=h2/2=h(0+h)/2=右；f(x)=x2,左=h3/3,右力(0+h2)/2+ah2(-2h)=h3/2-2ah3,令h3/2・2ah3/3/3,Ma=1/12.mf(x)=x3,左也/4,^=h(h3)/2+h2(-3h2)/12=h4/4；mf(x)=x4,*=h5/5,^=h5/2+h2(-4h3)
4、/12=h5/6,左。右，所以a=1/12时，求积公式有3次代数精度。5.2Newton-Cotes求积公式1、插值型求积公式给定一组节点〃=/<%…<力〃=。构造n次Lagrange型插值多项式k=0八其中4（X）=n（X一勺）为n次Lagrange插值基函数,j=uj±k则/(x)=L〃(x)+R(x).(/)，()〃(7)/近似函数=]：力Mf^)dx=J[f-)/(%,).z=°7.一►a其中，A只与求积节点有关，与被积函数无关.误差cbpb/(7)-/〃(/)=[R,X^dx=~~~~善①〃(x)dx.JaJ”(H+1)!可以看出，至少
5、n阶代数精度.2、等距节点情形(Newton-Cotes)取步长h=———,a+i/i,i—0,•• ,/7,4二厂/G）办二厂（一6-（一九）（一/）・《一〃）dx'a'"（%—/）.••（为一九）（七一九）…"一"）x—a^th/(/—1)•••(/—/+1)(/—/一1)・・•(/一〃)/!(〃一/)!(—1)〃一'hdt—nh———「力(/-4)/=M-W-〃/!(〃—/)!°*=o丁"koi」▼与区间选取无关、bJ(x)dx=(b-a)工c「)f(X).ai=01234Newton・Cotes系数表（〃）1/21/21/62/31/61/
6、87/903/83/81/16/452/1516/457/90梯形公式(n=1)：C：D=_/(t-l)dt=Cf)=J。皿=；,・•.n/]=s-〃)l!/(〃)+!/(创.0xoxiXSimpson公式(n=2)：g1r210o-->0(t--2)dt=—,c⑵='("2)&=JC产=/o=(-l)d"》14b+a1S[f]=(b-*f(a)+-八彳)+:/©].oo2oy=L2(x)y=f(x)0x0XiX2例3：计算1=J1X解：由Newton-Leibniz公式得「21I=-^/x=ln2-0.69314718.Jix由梯形公式,I--
7、(—+-)=0.75〉2211111由Simpson公式，7^-(-+4—+-)=0.6944,1111由Newton公式，/小+377T+3—•竺75,o4/33/32由Cotes公式，7-0.693175.3、N・C公式的截断误差和代数精度梯形公式%(7)=1/(、)办-7"]b于必)(x-a)(x-b)dxU2!b(x-a)(x-b)dx(积分中值定理)=-彳。©兵(〃㈤JLSimpson公式构造三次Hermite插值多项式H(x),满足a+b八a+b，a+b八a+bH3(-)=/(丁),2(亍)=尸(亍rbrbRs(f)=Kf)-S[f]=
8、[f(x)dx-[H3(x)dx4!/(x—a)x—a+b"T"2{x—b)dx4!1(b-a5aI(x_cT)x—J
