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1、精品文档函数对称性、周期性全解析函数对称性、周期性是函数这一部分在历年高考中的一个重点，现在全部解析如下:同一函数的周期性、对称性问题(即函数自身)1、周期性：对于函数yf(x),如果存在一个不为零的常数T,使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(xT)f(x)都成立，那么就把函数yf(x)叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期。如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。2、对称性定义(略)，请用图形来理解。3、对称性：我们知道：偶函数关于y(即x=0)轴对称，偶函数有关系式f(x
2、)f(x)奇函数关于(0,0)对称，奇函数有关系式f(x)f(x)0上述关系式是否可以进行拓展？答案是肯定的探讨：(1)函数yf(x)关于xa对称f(ax)f(ax)f(ax)f(ax)也可以写成f(x)f(2ax)或f(x)f(2ax)简证：设点(xi,yi)在yf(x)上，通过f(x)f(2ax)可知，yif(x1)f(2ax1)，即点(2ax〔，yi)也在yf(x)上，而点区』)与点(2ax1，y[)关于x=a对称。得证。若写成：f(ax)f(bx),函数y对称(2)函数yf(x)关于点(a,b)对称f(x)关于
3、直线x(ax)(bx)2f(ax)f(ax)2b上述关系也可以写成f(2ax)f(x)2b或f(2ax)f(x)2b简证：设点(xhyj在y“*)上，即丫［f(x［)，通过f(2ax)f(x)2b可知，f(2ax1)f(x1)2b,所以f(2ax1)2bf(x1)2by1，所以点(2ax1,2by1)也在yf(x)上，而点(2ax1,2by1)与(x［，y1)关于(a,b)对称。得证。若写成：f(ax)f(bx)c,函数yf(x)关于点ea—b")对称22(3)函数yf(x)关于点yb对称：假设函数关于yb对称，即关于
4、任一个x值，都有两个y值与其对应，显然这不符合函数的定义，故函数自身不可能关于yb对称。但在曲线c(x,y)=0,则有可能会出现关于yb对称，比如圆22c(x,y)xy40它会关于y=0对称。3欢在下载精品文档3欢在下载精品文档4、周期性:(1)函数yf(x)满足如下关系系，则f(x)的周期为2T、f(xT)f(x)B、f(xT)1.或f(xT)f(x)、f(x3或f(x1f(x)1f(x)——(-)(等式右边加负号亦成立)f(x)、其他情形(2)函数yf(x)满足f(ax)f(ax)且f(bx)f(bx),则可推出f
5、(x)f(2ax)f[b(2ax可以得到yf(x)的周期为2(b-a)b)]f[b(2axb)]f[x2(ba)]即,即可以得到“如果函数在定义域内关于垂直于x轴两条直线对称，则函数定是周期函数”(3)如果奇函数满足f(xT)f(x)则可以推出其周期是2T,且可以推出对称轴为xT2kT(kz),2f(x)f(x2T)可以找出其对称中心为(kT,0)(kz)(以上T如果偶函数满足f(x0)T)f(x)则亦可以推出周期是2T,且可以推出对称中心为(T2kT,0)(kz)据f(x)f(x2T)可以推出对称轴为xT2kT(kz
6、)(以上T0)(4)如果奇函数yf(x)满足f(Tx)f(Tx)(T0),则函数yf(x)是以4T为周期的周期性函数。如果偶函数yf(x)满足f(Tx)f(Tx)(T0),则函数yf(x)是以二、两个函数的图象对称性2T为周期的周期性函数。1、yf(x)与yf(x)关于X轴对称。2、3、4、5、换种说法：yyf(x)与y换种说法：yyf(x)与y换种说法：y换种说法：y换种说法：y"*)与丫g(x)若满足f(x)关于Y轴对称。"*)与丫g(x)若满足f(2ax)关于直线x"*)与丫g(x)若满足2af(x)关于直线yf
7、(x)与y2bf(2af(x)与yf(x)f(x)a对称。f(x)a对称。g(x)若满足g(x),即它们关于yg(x),即它们关于xg(2af(x)g(x)x)关于点(a,b)对称。g(x)若满足f(x)g(2ax),即它们关于2a,即它们关于0对称。0对称。xa对称。ya对称。x)2b,即它们关于点(a,b)对称。3欢在下载精品文档ab6、yf(ax)与y(xb)关于直线x——对称。23欢在下载
