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1、典型例题一例1.根据叙述作图，指出二面角的平面角并证明.(1)如图1,已知l,A丨•在内作PAl于A，在内作QAl于A.(2)如图2,已知于P，在内作AQl于Q，连结PQ.(3)已知AQ于Q,l平面PAQH，连结PH、QH.作图与证明在此省略.说明：本题介绍了作二面角的平面角的三种常用方法，其中用三垂线定理及逆定理的方法最常用，还需补充这种方法的其他典型图形.典型例题二例2.如图，在立体图形DABC中，若ABCB,ADCD,E是AC的中点，则下列命题中正确的是().(A)平面ABC丄平面ABD(B)
2、平面ABD丄平面BDC(C)平面ABC丄平面BDE，且平面ADC丄平面BDE(D)平面ABC丄平面ADC，且平面ADC丄平面BDE分析：要判断两个平面的垂直关系，就需固定其中一个平面，找另一个平面内的一条直线与第一个平面垂直•解：因为ABCB,且E是AC的中点，所以BEAC,同理有DEAC，于是AC平面BDE•因为CA平面ABC，所以平面ABC平面BDE•又由于AC平面ACD,所以平面ACD平面BDE•所以选C.说明：本题意图是训练学生观察图形，发现低级位置关系以便得到高级位置关系•在某一个平面内，
3、得到线线垂直的重要途径是出现等腰三角形底边的中线，由线线垂直得到线面垂直，由线面垂直可得到面面垂直•典型例题三例3.如图，P是ABC所在平面外的一点，且PA平面ABC，平面PAC平面PBC•求证BCAC.分析：已知条件是线面垂直和面面垂直，要证明两条直线垂直，应将两条直线中的一条纳入一个平面中，使另一条直线与该平面垂直，即从线面垂直得到线线垂直.证明：在平面PAC内作ADPC，交PC于D.因为平面PAC平面PBC于PC,AD平面PAC，且ADPC，所以AD平面PBC•又因为BC平面PBC，于是有AD
4、BC①.另外PA平面ABC,BC平面ABC，所以PABC.由①②及ADPAA，可知BC平面PAC•因为AC平面PAC，所以BCAC.说明：在空间图形中，高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系，通过本题可以看到，面面垂直线面垂直线线垂直.典型例题四例4.如图，AB是OO的直径，PA垂直于OO所在的平面，C是圆周上异于A、B的任意一点，求证：平面PAC平面PBC.分析：证明面面垂直的有两个依据，一是证明二面角的平面角为直角，二是利用两个平面垂直的判定定理•由于C点的任意性，用方法一的可能性不大，所以要
5、寻求线面垂直.证明：因为AB是OO的直径，C是圆周上的点，所以有BCAC①.因为PA平面ABC,BC平面ABC，则PABC②.由①②及ACPAA，得BC平面PAC•因为BC平面PBC，有平面PAC平面PBC.说明：低一级的垂直关系是判定高一级垂直关系的依据，根据条件，由线线垂直线面垂直面面垂直.通过这个例题展示了空间直线与平面的位置关系的内在联系，垂直关系的判定和性质共同构成了一个完整的知识体系.典型例题五例5.如图，点A在锐二面角MN的棱MN上，在面内引射线AP，使AP与MN所成的角PAM为45，
6、与面所成的角大小为30，求二面角MN的大小.连结AH，则BAH为射线AP与平面分析：首先根据条件作出二面角的平面角,好是直角三角形），通过解三角形使问题得解.解：在射线AP上取一点B，作BHBAH30•再作BQMN，交MN于Q，连结HQ，则HQ为BQ在平面内的射影.由三「垂线定理的逆定理，HQMN,BQH为二.面角MN的平面角.设BQa，在RtBAQ中,BQA90,BAM45,AB,2a,在Rt△BHQ中，2•一2BH2a,2BHQ90,BQa,BHa,sinBQH2BQa2，BQH是锐角，BQH4
7、5,即—1面角MN等于45.说明：本题综合性较强，在一个图形中出现了两条直线所称的角，斜线与平面所称的角，二面角等空间角，这些空间角都要转化为平面角，而且还要彼此联系相互依存，要根据各个平面角的定义添加适当的辅助线.典型例题六例6.如图，将边长为a的正三角形ABC以它的高AD为折痕折成一个二面角CADC.(1)指出这个二面角的面、棱、平面角；(2)若二面角CADC是直二面角，求CC的长；(3)求AC与平面CCD所成的角；(4)若二面角CADC的平面角为120，求二面角ACCD的平面角的正切值.分析：
8、根据问题及图形依次解决.解：(1)ADBC,ADDC,ADDC,二面角CADC的面为ADC和面ADC，棱为AD，二面角的平面角为CDC.142(2)若CDC90,ACa,DCDC-a,CCa.22(3)ADDC,ADDC,AD平面DCC,ACD为AC与平面1CCD所成的角•在直角三角形ADC中，DCDCAC,DAC30，于是2ACD60(4)取CC的中点E，连结AE、DE,DCDC,ACAC,AECC,DECC，AED为二面角ACCD的平面角.11CDC120,CDC
