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1、巧借旋转妙解题5、正三角形和正方形的旋转55例1.如图，O是等边三角形的旋转中心，/EOF=120°,/EOF绕点过程中,OE与OF与4ABC的边构成的图形的面积（A.一一一一1等于△ABC面积的-3……一1B.等于△ABC面积的一2-1等于△ABC面积的-4D.不确定O进行旋转，在旋转例2.如图2所示，两个边长都为2的正方形ABCD及正方形OPQR.如果O点正好是正方形ABCD的中心，而正方形的面积吗?分析：OPQR可以绕着O点旋转，那么可以求出它们重叠部分QRBME图3于E,OF1AB于F.可以将^OFN逆时针方向旋转90
2、。与OEM重合，所以重叠部分的面积就转化为正方形OFBE的面积，而正方形OFBE的面积为1,所以重叠部分的面积为1.例3.如图4所示，在四边形ABCD中，/ADC=/ABC=90°,AD=CD,DP^AB于P图4若四边形的面积为55注：在有正方形的条件下，考虑旋转方法，常常把旋转角度选为5求以线段OA,OB,OC为边构成的三角形的各角.例4.如图6所示,设O是等边三角形ABC内一点，已知/AOB=115°,/BOC=125°,55分析：要求线段OAOBOC为边构成的三角形白各角，而线段OAOB。5是同一个三角形的三条边，可以利
3、用“图形旋转前后的图形形状大小不变，对应线段相等”这一性质解决问题，同时利用旋转可以将分散的线段、角集中到同一个图形之中.解：以B为中心，将ABOA逆时针方向旋转60°,则点A落在点C,点O落在点D,连接OD,CD,（图7）・.OB=BD,/OBD=60°,.•.△BOD是等边三角形；则OD=OB.又CD=OA,・•.△COD是以OA,OB,OC为边构成的三角形.・./BOC=125°,/BOD=60°.，/COD=65°.又・./BDC=ZAOB=115°,而/ODB=60°,・./ODC=55,从而/OCD=180'—65
4、©—55嗔60，故求得以线段OA,OB,OC为边构成三角形的各角为65°,55°,60°.注：在有等边三角形的条件下考虑旋转方法，常常把旋转角度选为60.练习一.1、如图8,点M,N分别在正方形ABCD的边BC,CD上.已知△MCN的周长等于正方形ABCD周长的52、（青岛）、如图10,P是正三角形ABC内的一点，且PA=6,PB=8,PC=10求/APB的度数。553、（旅顺）如图，△ABC是正三角形，△BDH顶角/BDC=120的等腰三角形，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交ABAC边于MN两点，连MN探究：线段BM
5、MNNC之间的关系，并加以证明。54、把两个全等的等腰直角三角板ABC和EFG（其直角边均为4）叠放在一起（如图1）,且使三角板EFG的直角顶点G与三角板ABC的斜边中点O重合，现将三角板EFG绕点O按顺时针方向旋转（旋转角”满足条件：O1cot<90口），四边形CHGK是旋转过程中两三角形的重叠部分（如图2）.析解：在上述旋转过程中，B+CK四边形CHGK勺面积不变证明：ABC是等腰直角三角形，O为斜边中点，.•.CG=BG,CGXAB,•./ACG=/B=45°,・・・/BGH与/CGK均为旋转角，5BGH=/CGK,因此
6、^CGK可以看作是由4BGH绕点O顺时针旋转而得，故BH=CK,SAcgk=SABGH'S四边形CHGK=SACGK+S/CGH=SABGH+S△CGH=SSaABC211...4M4=4，22即四边形CHGK的面积在旋转过程中没有变化，始终为4.5.如图8,已知，等腰直角4OAB中，/AOB=90°,等腰直角△EOF中，/EOF=90°,连接AE、BF.试说明：(1)AE=BF;(2)AEXBF.是2.求/EAF的大小。ARE121的正方形ABCD的BC、CD一上的点，且^CEF的周长557、如图，P为正方形ABCD内一点
7、，若PA=a,PB=2a,PC=3a(a>0),求:(1)/APB的度数;(2)正方形ABCD的面积.二、与旋转有关的探索性试题例析分析：由于在旋转的过程中，虽然点O的位置发生了变化，但/AOC和/COE的大小不变，都是45。，因此可过C分别作OA、OB的垂线，从而转化为等腰直角三角形(图1)来处理.对于图3可仿图2处理.5例1:（衡阳市）已知，如图2,平行四边形ABCD^,AB//CDAB=1,BC=/5,对角线AGBD交于。点，将直线AC绕点O顺时针旋转，分别交BGAD于点E、F.⑴证明：当旋转角为900时，四边形是平行四
8、边形；⑵试说明在旋转过程中，线段AF与EC总保持相等；⑶在旋转过程中，四边形BEDF可能是菱形吗？如果不能，请说明理由：如果能，说明理由并求出此时AC绕点。顺时针旋转的度数.解：⑵.・AO=CO,/FAOhECO,/AOFhCOE...△AO庭△COE...AF=EC.⑶四边
