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1、函数第一节初等函数函数是高中知识的主干知识，是高中知识的一条主线，它涉及了函数的概念和性质，基本初等函数，数列，不等式，方程，导数，解析几何和立体几何等，是历年高考的重点、热点和必考点.初等函数（由基本初等函数经过运算或复合组成的）是基础.一般地,在高考试题中，考察函数知识都是以初等函数为载体.单独以定义域、值域、奇偶性等命题大多是选择题或填空题，综合题中涉及函数性质的往往只是试题的一部分.难度值一般控制在0.5～0.8之间.考试要求：①了解映射概念,理解函数的概念,会选择适当方法表示函数;②会求一些简单函数的定义域和值域；③了解函数的奇偶性,能判断简单函数的奇偶性；④了解
2、反函数的概念及指数函数与对数函数互为反函数；⑤理解有理指数幂的含义,掌握幂的运算(性质),掌握指数函数、对数函数的概念,对数的运算性质.题型一判定初等函数的性质例1求函数的值域.点拔函数是三次函数与三角函数复合函数而成的，令得，本题就转化为求，的值域.三次函数求值域常用导数的方法.解,则,∴,由,得或；由,，得，列表：t1002减函数有极小值增函数函数有极小值又,,∴.易错点①令，忽略了；②错误地认为最值一定在端点处取得.变式与引申1：函数的值域为_____________题型二抽象函数的性质例2已知函数对任意实数都有，且当时，，求在上的值域.点拔此题是抽象函数，但是初等函
3、数中，可以找到一个具体函数满足条件，如，由此猜想抽象函数在是递增函数，再用定义证明递增.：设，且，则，再利用判断与的大小关系.下面只要求出的值就行.解设，且，则，由条件当时，又为增函数，令得，再令用得出,令得上的值域为易错点利用性质“当时，”证明单调性，易出错.变式与引申2：设函数y=是定义在R上的函数，并且满足下面三个条件：①对任意正数有；②当时，；③.(1)求的值;（2）证明上是减函数.题型三函数奇偶性的判断例3判断函数的奇偶性.点拔利用定义判断函数的奇偶性：第一步：看定义域是否关于原点对称:若定义域不关于原点对称，则为非奇偶非函数；若定义域关于原点对称，则进行第二步：
4、验证与的关系，若（或）则为偶函数；若（或）则为奇函数.当难于得出和的时候，可以考虑验证特殊值.解当时，为偶函数；当时，,∵,∴；∵,，,∴既不是奇函数也不是偶函数.易错点①用定义判断奇偶性时，容易漏掉的情况.②的情况难于得出与的关系，易出错.变式与引申3：设为实数，函数．讨论的奇偶性.题型四函数思想的应用例4关于x的方程有四个不同的解，求的取值范围.点拔此题有多种思考方法：法1：原方程看作含绝对值的方程，则采用去绝对值的方法，分段讨论解一元二次方程：和.原方程有四个不同的解，等价于有2个不等的正解，且有2个不同的负数解.问题就转化为两个一元二次方程根的分布问题.法2：把原方
5、程看作是关于的一元二次方程，则令，则原问题等价于有2个不等的正数解.法3：采用函数思想来观察方程，则可以把原方程变为：，问题等价于函数和的图像有四个不同的交点.事实上，我们还有下面各种变形：解法1有四个不同的解等价于有2个不等的正解，且有2个不同的负数解.有2个不等的正解有2个不同的负数解综上所述：.法2令则原问题等价于有2个不等的正数解..法3在同一直角坐标系内画出直线与曲线的图像，如图观图可知，图的取值必须满足,解得.易错点①作为二次方程分类，运算量大，易出错;②易忽略;③同学们很难将四个不同解等价转化其它问题.变式与引申4：（2011年北京卷。理）已知函数若关于x的方
6、程f(x)=k有两个不同的实根，则数k的取值范围是_______本节主要考查①初等函数的基本性质（定义域，值域，奇偶性等）,理解函数的基本问题是初等函数问题；②通过变量代换将一般函数问题转化为初等函数问题解题；③熟练作出初等函数的图像利用数形结合；④函数思想.点评（1）基本方法：①熟练掌握基本初等函数的性质和图像；②初等函数利用变量代换转化为基本初等函数；③求出中间变量的范围.（2）求定义域的常用方法:根据函数解析式求函数的定义域，利用函数式有意义，列出不等式组，再解出.函数式有意义的依据是：①分式分母不为；②偶次方根的被开放数不能小于；③对数函数的真数大于,底数大于且不等
7、于1；④终边在轴上的角的正切没有意义；⑤没有意义；⑥复合函数的定义域，要保证内函数的值域是外函数的定义域.（3）求值域的常用方法:①观察法；②配方法；③导数法；④不等式法；⑤单调性法；⑥数形结合法；求定义域开始关于原点对称是否输出“为非奇非偶函数”否输出“为非奇非偶函数”输出“为奇或偶函数”是结束⑦判别式法；⑧有界性法；⑨换元法.（4）判断函数奇偶性的步骤：习题1—11.函数的图象().A．关于原点对称B．关于直线y＝x对称C．关于x轴对称D．关于y轴对称2.已知函数的值域是,则实数的取值范围是__________
