2021届高三高考数学三轮复习满分大题专练（三十一）—综合练习（17）.doc

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1、挑战满分大题专练（三十一）综合练习（17）1．在中，角，，的对边分别为，，，且．（1）求角的大小；（2）若，，求的面积．解：（1）由题意可得，所以．因为，所以，因为，所以．（2）由正弦定理得，又，所以，所以，所以．2．在①；②；③．这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答．已知数列的前项和为，若，且满足____，设数列的前项和为，求，并证明．解：选①；当时，，又，两式相减可得，即，又，满足上式，可得，；，，证明：，，所以．选②；当时，，两式相除可得，当时，满足上式，所以，；，，证明：，，所以．选③．当时，，又，两式相减可得，化为，又，所以，所以，即是以1为首项，3为公比的等比数列

2、，故，，，证明：，，所以．3．如图所示，在四棱锥中，底面是且边长为的菱形，侧面为正三角形，其所在平面垂直于底面，若为的中点，为的中点．（1）求证：平面；（2）求证：；（3）在棱上是否存在一点，使平面平面，若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由．（1）证明：连接、，则，且，所以四边形是平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面；（2）证明：连接，因为为正三角形，为边的中点，所以；又，，所以，所以，即；又平面，平面，，所以平面，又平面，所以；（3）解：当为边的中点时，满足平面平面，证明如下：取的中点，连接、、，在中，，在菱形中，，所以平面平面，因为平面，所以，又因为，，所以平面，而平面，

3、所以平面平面，所以平面平面．4．近年来，我国肥胖人群的规模急速增长，肥胖人群有很大的心血管安全隐患．目前，国际上常用身体质量指数，缩写来衡量人体胖瘦程度以及是否健康，其计算公式是中国成人的数值标准为：为偏瘦；为正常；为偏胖；为肥胖．为了解某公司员工的身体质量指数，研究人员从公司员工体检数据中，抽取了8名员工（编号的身高和体重数据，并计算得到他们的值（精确到如表：编号12345678（近似值）22.323.228.320.323.523.725.516.6（Ⅰ）现从这8名员工中选取2人进行复检，记抽取到值为“正常”员工的人数为，求的分布列及数学期望．（Ⅱ）某调查机构分析发现公司员工的身

4、高和体重之间有较强的线性相关关系，调查员甲对这8人的体检数据进行分析，计算得出该组数据的线性回归方程为，且根据回归方程预报一名身高为的员工体重为，计算得到的其他数据如下：，．（1）求的值及抽取8人体重数据的平均值；（2）调查员乙代替甲继续数据处理时，发现编号为8的员工体重数据有误，应增加，其身高数据无误，请你根据调查员乙更正的数据重新计算线性回归方程，并据此预报一名身高为的员工的体重．附：对于一组数据，，，，，，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计分别为：，．解：由表中的数值可知，8名员工中数值为“正常”的员工有5人，所以的可能取值为0，1，2，，，，的分布列为012数学期望．（

5、1）根据回归方程预估一名身高为的员工体重为，，解得，故线性回归方程为．样本中心点，一定在回归直线方程上，．（2）（2）由（1）知更正前的数据，，，，更正后的数据，，，，，，故更正后的线性回归方程为．当时，，重新预估一名身高为的员工的体重约为．5．已知圆与抛物线在轴下方的交点为，与抛物线的准线在轴上方的交点，且点，关于直线对称．（1）求抛物线的方程；（2）若，是抛物线上与点不重合的两个动点，且，求点到直线的距离最大时，直线的方程．解：（1）将代入，得，所以，由点，关于直线对称，可得，将的坐标代入抛物线的方程得，得．所以抛物线的方程为．（2）由（1）得．设，直线的方程为，将直线的方程代入

6、得，所以，．因为，所以，由题意可知，，所以．所以，即，所以，即．所以直线的方程为，所以直线过定点，当时，点到直线的距离最大，此时直线的方程为．6．已知函数，．（Ⅰ）当时，证明：不等式在，上恒成立；（Ⅱ）若不等式在，上恒成立，求实数取值的集合．（Ⅰ）证明：当时，令，，则，当时，，所以在，上单调递增，所以，所以，当时，，所以．综上所述，当时，不等式在，上恒成立．（Ⅱ）令，，则，（1）当时，由题意得在，上恒成立，因为，所以，所以，当时，由（Ⅰ）得，所以当在，上恒成立时；（2）当时，由题意得在，上恒成立，因为，所以，所以，当时，，由（Ⅰ）得，所以在，上单调递减，所以，所以，所以当在，上恒成立

7、时．综上所述，实数的取值集合为．