绘制曲线

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1、第四章绘制曲线在实际学习和工作中，我们经常需要绘制各种各样的曲线。归纳起来，无外乎两类，一是曲线可以用标准的解析式来表示，称为曲线的方程；另一类曲线由我们从实际中测量得到的一系列离散点来确定，这些数据称为“型值点”，这种曲线不可能用标准的解析式来表示。本章主要是研究采用什么方法来描述这一些曲线。§4.1抛物样条曲线假设我们有一系列离散的型值点，现在要用一条光滑曲线把这些离散点连接起来，绘成曲线图形，这一过程称之为曲线拟合。在拟合生成过程曲线的众多方法中，一般总要选定一种较为简单的曲线，作为拟合其他曲线的基本曲线，然或对这种基本曲线作一些适当的数学处理，用以生成完整的拟合曲线

2、。抛物样条曲线就是选择抛物线作为基本曲线，来拟合给定离散点所生成的曲线。一、过三点定义一段抛物线设有不在同一条直线上的三点：Pl,P2,P3，现要求过三点定义一条抛物线段。我们采用适量表达式来表示抛物线的方程：,,___2，一p(t)=a+A2t+A3t(0

3、A3t=0.5p(0.5)=A10.5A20.25A3;p2解以上三个联立方程，得:Ai-piA2=4p2-p3-2piA3=2pi2P3-4P2把该三个参数的值代入原表达式，可得：，、，，，2p(t)=A1A2tA3t2=Pi(4p2-p3-3pi)t(2pi2p3-4p2)t_2_2_2=(2t-3ti)Pi(4t-4t收(2t-t)P3写成矩阵形式:一2-421「pJp(t)=t2ti1-34-ip2i00尿」在二维平面上，p(t)=.x(t)y(t)l,于是：2-42xiyi(0

4、J00』y例设三个点的坐标分别为：pi(4,3),p2(6,5),P3(i0,2),抛物线。2-4243X(t)y(t)】=t2ti】-34-i65■i00J02_=4t22t4-i0t29t31t00.20.40.60.8ix44.655.446.648.1610y34.454.83.82二、抛物线的加权合成有离散型值点Pi(i=1,2,…,n),我们根据前面的过三点作一段抛物线。由于有n个型值点，可做n-2条。P2在这n-2条抛物线段中，第i条线段经过p「pi,pi^o所以它的表达式为：Si(ti)=(2t：-北1)Pi(4七一4，足.1(2t2-t)Pi2(0

5、1)第i+1条线段的表达式为：Sii(tii)=(2ti2i-a㈠1)Pi.i(4ti「4ti2i)Pi.2(2t2i-tii)Pi3一般来说，在两条抛物线段的重叠区间，两条抛物线是不可能安全重合的。然而，对于拟合曲线来说，整个型值点必须只能用一条光滑的曲线连接起来。为了做到这一点，在Si和Si中的共同区间内，必须有一种方法让它们两条曲线按一定的规则结合成一条曲线。这种结合的办法就是加权合成。在加权合成的过程中，我们首先要选择两条合适的权函数。fi(T)、f2(T),加权后的曲线为PiJt),则Pii(t)=fi(T)Si(ti)f2(T)Si.i(ti.i)我们选取fi(

6、T)、f2(T)是简单的一次函数，分别为:fi(T)=1-Tf2(T)=T(0

7、(t0.5)-4(t0.5)2]pi.1[2(t0.5)2-(t0.5)]Pi2二(2t2-2足(1—4t2)Pi1(2t2t)R2S「(t)=(2t2-3t1)p「(4t一充皿](2t2-t)Pi3所以:Pii(t)=(4t34t2-t)pi(12t3-10t21)pii(-12t38t2t)r2(0

8、Pi书pH2ILpi3由上式可见，每相邻四个点可以确定一段抛物样条曲线例如有一个离散点系列，具有n个型值点，即i=1,2,…,n,那么