降落伞的选择

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1、降落伞的选择海南大学信息学院数学系舒兴明13648694787117562750问题：为了向灾区空投一批救灾物资，共2000kg，需要选购一些降落伞，已知空投的高度为500m，要求降落伞落地时的速度不能超过20米/秒，降落伞的伞面为半径为r的半球面，用每根长L共16根绳子连接的重m位于球心正下方球面处，如下图：m每个降落伞的价格由三部分组成，伞面费用为C1由半径r决定；见下表；绳索费用C2由绳索总长度及单价4元/米决定；固定费用为C3为200元。r22.533.54C1651703506601000降落伞在降落过程中除了受到重力外，受到空气的阻力，可以认

2、为与降落伞的速度和伞面积的乘积成正比，为了确定阻力系数，用半径r=3m，载重m=300kg的降落伞从500m高空作降落试验，测得各个时刻的高度，见下表t(s)036912151821242730x(m)500470425372317264215160108551试确定降落伞的选购方案，即共需要多少个伞，每个伞的半径多大？在满足空投要求下，使费用最低。问题分析：每种降落伞的价格一定，选择不同半径的降落伞，需要满足空投条件，那么就与每种降落伞的最大载重能力有关，要求选择方案，必须先求出空气阻力系数k,然后根据运动方程，得出最大载重量，然后利用线性规划的方法求

3、解最优方案。基本假设：（1）救灾物资可以任意分割；（2）降落伞落地时的速度不超过20米/秒；（3）降落伞以及绳子质量可以忽略的；（4）降落伞在降落过程中，只受到重力和一个非重力因素的空气阻力；（5）空气阻力系数k是定值，与其它因素无关。变量设置：M(r)：表示半径为r的伞在满足空投条件下的最大载重量；f：空气阻力；k：空气阻力系数；t：降落伞开始下降开始计时的时间；H(t)：降落伞下降到t时刻时的时间；m：降落伞负重重量；g：重力加速度；s：降落伞伞面面积；n(r)：选购半径为r的降落伞的个数。模型建立：（一）确定空气阻力系数k降落伞在下降过程中，受到重

4、力和空气阻力的作用，且初速度为0。（I）1、确定降落伞的高度与时间的关系式此微分方程为一阶可分离变量的方程，求解得到（II）设降落伞从降落位置到t时刻的下降距离为H(t),则（III)即(IV)高度x与时间的关系式为2、由已知数据拟合阻力系数k已知，r=3，降落伞是半个球面，其面积为重力加速度g=9.8,m=300。另一方面，落地速度不超过20m/s，故有于是求得k满足通过观测值的拟合，得到K=2.9377。(附拟合的lingo程序)sets:shuju/1..11/:t,x0,x,y;endsetsmin=@sum(shuju(i):y(i));@fo

5、r(shuju(i):x(i)=500-m*g*t(i)/k/s-m^2*g*@exp(-k*s*t(i)/m)/k^2/s^2+m^2*g/k^2/s^2);s=2*pi*r^2;@for(shuju(i):y(i)=(x(i)-x0(i))^2);data:r=3;g=9.8;pi=3.1416;m=300;t=036912151821242730;x0=500470425372317264215160108551;enddata这里也可以用matlab中的非线性拟合函数先编写拟合表达式的M文件functionx=jiangluosan(k,t)r=

6、3;s=2*pi*r^2;m=300;g=9.8;x=500-m*g*t/k/s-m^2*g/k^2/s^2*exp(-k*s*t/m)+m^2*g/k^2/s^2;再调用拟合函数>>[t;x]ans=036912151821242730500470425372317264215160108551>>[beta,r]=nlinfit(t,x,@jiangluosan,2.8)beta=2.9377r=0-2.79770.3783-0.4628-2.5475-2.48861.5977-0.31100.78140.8740-0.0334两种拟合的计算结果一样

7、3、拟合程度的F检验t(s)036912151821242730理论值500472.7977424.6217372.4628319.5475266.4885213.4023160.3109107.218554.12981.03334观测值500470425372317264215160108551>>clear>>y=[500472.7977424.6217372.4628319.5475266.4885213.4023160.3109107.218544.12981.03334];>>y1=[500470425372317264215160108551

8、];>>p=kruskalwallis([y',y1'])p=0.9476由此可