多尺度方法在力学中的应用

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1、多尺度方法在力学中的应用　　　　　　　　　　　　　　　　作者　杨陶令张鹏指导老师　苏先樾１．背景概述多尺度科学是一门研究各种不同长度或者时间尺度相互耦合现象的一门科学。多尺度科学的研究领域十分宽广，涵盖的学科之多难以一一罗列。在诸如流体动力学、复合材料力学、生物力学、环境科学、化学、地质学、气象学和高能物理之类的各门科学中，多尺度科学及其相应的方法发挥着相当重要的作用。正如同随机现象和非线性科学受到了广泛的重视一样，多尺度科学因其处于当代科学的许多极富挑战性问题的核心地位，未来的发展前途不可限量。在材料科学领域中，材料的动态特性就是多

2、尺度的问题。金属的塑性变形问题是从位错流动着手研究的，但是位错理论本身并不能预测塑性流动率和屈服强度——位错与晶界、点缺陷以及原子振动之间的相互作用才是导致诸如应变强化和材料强度特性动态变化等现象的主导因素。所以将固体的微观结构与原子层次的组成成分相结合来预测固体材料的宏观特性，就是材料科学的宏伟理想，并可期望达到人工设计材料的终极目标。在气象学领域中，在大气环流模拟中计算尺度的典型数量级为100km，但是局部降水量、水汽含量以及某些风暴系统的数量级则要小得多，因而必须在较小尺度层次上进行模拟，这也是典型的多尺度问题，应该用多尺度方法

3、来处理。必须说明的是，正是因为多尺度科学广泛的应用背景，多尺度方法作为一种研究的手段和方法，在各种截然不同的研究领域的应用过程中，往往与该研究领域的具体背景相结合，具有一定的特殊性。从算法的角度来说，与线性方程组的解法等常规算法不同的是，目前多尺度方法本身没有固定的算法格式，它所体现的更多的是一种研究的需求和应用的思想，在程序上的实现必须结合具体的研究模型，这将在下文中得到充分的体现。２．多尺度的力学分析方法在多尺度的分析方法中已经发展了若干力学分析的方法，目前比较典型算法有：宏观－细观平均化计算方法、材料强度的统计计算方法等。下面将

4、详细介绍这两种方法。２.１宏观－细观平均化计算方法典型的宏观－细观平均化算法是：利用材料的细观周期性的胞元模型和强调宏观与细观之间相连接的广义自洽模型相结合所进行的计算。首先讨论胞元模型。胞元是材料的一个基本结构，它嵌含材料的细观几何和相结构的要素。就复合材料来说，胞元应嵌含颗粒形状、颗粒百分比、颗粒分布几何、基本结构、界面状况等要素。自洽方法是考虑宏观和细观交互作用的研究方法。广义自洽方法则是将平均化的小尺度的胞元与大尺度的宏观等效介质进行自洽连接。123图１.复合圆柱模型（坐标图）把宏观－细观平均化计算方法在多尺度思想上作一定的推

5、广，即并不要求达到细观尺度，而是相对于宏观大尺度来说，胞元尺寸构成相对的小尺度。一个典型的例子就是复合材料等效模量计算中常用的复合圆柱模型。下面就以复合圆柱模型（图１）为例，给出一个多尺度计算的具体算例。　　我们的问题是计算横向剪切模量。在图２中我们为了视觉上的清晰起见，夸大了胞元的尺寸。实际上，我们只取出宏观等效均匀介质中周期性分布的一个微小胞元，虽然胞元本身并没有达到细观尺度，但是可以肯定的是，胞元的尺寸与周围的宏观等效均匀介质相比起来，在尺度上已经相差很大的数量级。而在计算的过程中，我们将分别考虑较小尺度的胞元内的物理量和胞元周

6、围较大尺度的等效均匀介质中的物理量，然后再通过广义自洽方法将平均化的小尺度的胞元与大尺度的宏观等效均匀介质进行自洽连接。宏观等效均匀介质胞元基体胞元内的纤维束图２.复合圆柱模型（横截面图）2b2a在无限远场的剪切变形条件下，根据力学知识，我们可以计算出在大尺度的宏观等效均匀介质中，位移场是：在平均化的小尺度的胞元中，基体和纤维内的位移场分别是：　　和其中连接小尺度的胞元和大尺度的宏观等效均匀介质的条件在不同的问题中可能不尽相同，在我们以上考虑的这个问题中，这一条件就是连续性条件，即在界面上连续。这样就得到了一系列方程，另外再补充其他一

7、些方程，例如应用能量原理得到的方程，可以想见，以上问题就归结为解一个非线性方程组，而我们所要求的只是其中的一个未知量。以上这个具体问题的求解比较特殊，消去不相关的未知元、等，只留下，我们得到一个二次方程：其中A，B，C是材料常数的函数，可以由给定的具体材料来决定，其形式不是本文所要讨论的重点，故不再赘述。通过复合圆柱模型，我们可以总结出宏观－细观平均化算法的流程图，如图３所示。细观（或相对较小尺度下）周期性的胞元模型宏观（或较大尺度下）的力学模型连接宏观尺度与细观尺度（或相对较小尺度）的广义自洽模型将具体的力学问题数学化，给出程序并计

8、算图３.宏观－细观平均化算法的流程图2．2材料强度的统计计算方法在材料强度的统计计算方法中，应用比较成熟的是有关带有强相互作用共线裂纹的脆性材料强度的统计计算。这个算法与宏观－细观平均化算法有所不同，宏观－细观平均化算法