分析力学的形成及其不同的表示

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1、分析力学的形成及其不同表示分析力学的形成及其不同的表示摘要：分析了分析力学的历史背景及发展历程，介绍了分析力学的一些重要方程和几种不同的表示方法.关键词：约束力；虚功原理；非惯性系；拉格朗日方程；哈密顿原理；哈密顿正则方程；积分形式；微分形式引言：分析力学的基本内容是阐述力学的普遍原理,由这些原理出发导出质点系的基本运动微分方程,并研究这些方程本身以及它们的积分方法.分析力学作为一般力学的一个分支,以广义坐标为描述质点系的变量,以虚位移原理和达朗贝尔原理为基础，运用数学分析方法研究宏观现象中的力学问题,不必考虑理想

2、约束,可以很方便地建立力学体系的运动微分方程,对一些力学问题的解法进行优化，可以更加快速的求解.近20年来,又发展出用近代微分几何的观点来研究分析力学的原理和方法.分析力学是经典物理学的基础之一,也是整个力学的基础之一.它广泛用于结构分析、机器动力学与振动、航天力学、多刚体系统和机器人动力学以及各种工程技术领域,也可推广应用于连续介质力学和相对论力学.一、分析力学的历史背景分析力学是18世纪后叶随着工业革命的迅速发展而建立起来的.到现在为止，我们所研究的力学问题基本上是以牛顿运动定律来求解的，但是在求质点组的运动问

3、题时，常常要解算大量的微分方程组，如果质点组受到约束，则因约束反力都是未知的，所以并不能因此减少甚至增加了问题的复杂性.18、19世纪，随着工业革命的迅速发展，在工程技术上迫切需要解决的又正好是这一类问题.因此，迫切需要寻求另外的方法来解决这些问题.许多科学家将分析的方法用于力学解决了许多当时没有解决的问题，分析力学正是在这种历史的大背景下产生的.二、分析力学的发展历程1788年拉格朗日出版的《分析力学》是世界上最早的一本分析力学的著作.分析力学是建立在虚功原理和达朗贝尔原理的基础上.两者结合，可得到动力学普遍方程

4、，从而导出分析力学各种系统的动力方程.1760～1761年，拉格朗日用这两个原理和理想约束结合，得到了动力学的普遍方程，几乎所有的分析力学的动力学方程都是从这个方程直接或间接导出的.1834年，汉密尔顿推得用广义坐标和广义动量联合表示的动力学方程，称为正则方程.汉密尔顿体系在多维空间中，可用代表一个系统的点的路径积分的变分原理研究完整系统的力学问题.从1861年有人导出球在水平面上作无滑动的滚动方程开始，到1899年阿佩尔在《理性力学》中提出阿佩尔方程为止，基本上已完成了线性非完整约束的理论.20世纪分析力学对非线

5、性、不定常、变质量等力学系统作了进一步研究，对于运动的稳定性问题作了广泛的研究.三、分析力学的形成（一）分析力学的基本方程及条件对于完整保守系统，其基本方程及条件如下：1、广义速度广义位移关系，（3.1.1）式中广义速度向量,广义位移向量第9页共9页分析力学的形成及其不同表示.1、广义动量广义速度关系,（3.1.2）式中广义动量向量，Lagrange函数.2、运动方程,（3.1.3）3、初始条件，（3.1.4a），（3.1.4b）（二）虚功原理设受有k个几何约束的某力学体系处于平衡状态.取体系中任意一点，并且作用在

6、此质点上主动力的合力为，约束力的合力为，则因在此体系中每一质点都必须处于平衡状态中，故此时必有（3.2.1）现在让每一个质点自它的位置发生一虚位移，则由（3.2.1）式，得（3.2.2）把式（3.2.2）中各等式相加，就得到（3.2.3）但如为理想约束，则根据，因此，如果这样的力学体系处于平衡状态，则其平衡条件是（3.2.4）或（3.2.5）反之，也可证明，如果平衡位置是约束所允许的位置，则当（3.2.4）式对任意第9页共9页分析力学的形成及其不同表示都成立时，系统在该位置必保持平衡.由此可知，受有理想约束力的力学

7、体系平衡的充要条件是此力学体系的诸多主动力在任意虚位移中所作的元功之和等于零.这个关系是1717年伯努利首先发现的，叫做虚功原理，也叫虚位移原理.（二）拉格朗日方程1、基本形式的拉格朗日方程令s为惯性参考系,为相对于s系的既平动又转动的非惯性参考系,并且确定系原点的位矢和其转动角速度为已知函数。在n个质点组成幷受到k个理想完整约束的力学体系中,其自由度s=3n-k,选为广义坐标,则第个质点对系的位矢仍可表示成,对其用非惯性系中的动力学方程得（3.3.1）或（3.3.2）式中为第个质点所受主动力的矢量和,为第个质点所

8、受约束力的矢量和,而惯性力(为原点相对s系原点的加速度,为质点相对系的角速度).若用乘式（3.3.2），并对求和，在理想约束条件下，则得（3.3.3）（3.3.4）如果把实位移改为虚位移，再经过微商计算得（3.3.5）上式右方含有求和号的两项，恰为体系动能（3.3.6）对及偏微商，可把（3.3.5）改写为（3.3.7）由于是相互独立的，所以（3.3.8）这就