线性代数与解析几何复习题

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1、《线性代数与解析几何》复习题一、矩阵部分(一)填空题.1．设，，则.提示：A3=2．设方阵满足，.提示：A2+A-4I=0→A2+A-2I-2I=0→(A-I)(A+2I)=2I→(A-I)(A+2I)/2=I3．设方阵满足，则____________.提示：A2-2A-3I=0→A(A-2A)=3I4．设，则.提示：对矩阵A施行初等行变换，非零行的行数即为矩阵A的秩。5．设，则当满足条件时，可逆.提示：矩阵A的行列式detA≠0时，矩阵可逆。(二)选择题1．设阶矩阵，则必有                         （

2、）（A）（B）（C）（D）提示：A的逆矩阵为BC2．                        （）提示：P的列为齐次线性方程组Qx=0的解，P非零，Qx=0有非零解，故Q的行列式detQ=03．                        （）提示：矩阵B由矩阵A经初等行变换得到，故在C或D中选择，P1、P2为初等矩阵，共17页第17页P1为交换第1、2行，P2为将第一行的1倍加到第三行，故选C4．设维向量,矩阵,其中为阶单位矩阵,则()提示：AB＝(I-aTa)(I+2aTa)=I+aTa-2aTaaTa=I+aTa

3、-2aT(aaT)a=I5．A、B（）（A）B=E（B）A=E（C）A=B（D）AB=BA提示：(A+B)(A-B)=AA-AB-BA-BB6．矩阵()A、1B、2C、3D、4提示：A=(a1,a2,a3,a4)T(b1,b2,b3,b4)(三)计算题1．提示：AB-B=A2-I→(A-I)B=A2-I→B=(A-I)-1(A2-I)也可使用矩阵初等行变换。2．利用矩阵的初等变换解线性方程组.提示：对方程组增广矩阵进行初等行变换。3．设矩阵，.提示：AX=2X+B→AX-2X=B→(A-2I)X=B→使用矩阵初等行变换。4．若

4、则X=.提示：使用矩阵初等列变换。(四)证明题1．设都是一个n阶对称矩阵，证明：对称的充要条件是。提示：参见作业上相关内容：共17页第17页AB=BA→AB对称：AB对称→AB=BA2．证明：任何一个n阶方阵都可表示为一对称矩阵与一反对称矩阵之和.提示：参见书上的例子。对称矩阵为B=(A+AT)/2反对称矩阵为C=(A-AT)/23．设n阶方阵不是单位方阵，且，试证明(1)是不可逆矩阵(2)均为可逆矩阵，并求逆矩阵.提示：(1)反证法：假设A可逆，则存在A-1，有A-1A=I。因为A2=A，故A-1A2=A-1A，由此得A=I

5、，与题设矛盾.(2)根据A2=A凑出A+I与A-2I的乘积为单位阵I的倍数即可。4．设同阶方阵，其中可逆，且满足，证明可逆.提示：A2+AB+B2=0→A(A+B)+B2=0→[A(A+B)+B2]B-1B-1=0→A(A+B)(B-1)2+I=0→A(A+B)(B-1)2=-I→A可逆，其逆矩阵为-(A+B)(B-1)2A2+AB+B2=0→A(A+B)+B2=0→B-1B-1[A(A+B)+B2]=0→(B-1)2A(A+B)+I=0→(B-1)2A(A+B)=-I→A+B可逆，其逆矩阵为-(B-1)2A二、行列式部分(一

6、)填空题1．行列式=。提示：4×(-1)1+4×4×(-1)1+3×2×(-1)1+2×52．若4×4阶矩阵A的行列式是A的伴随矩阵则=．提示：detA*=(detA)n-13．已知是奇异阵，则_________.提示：奇异矩阵行列式为零。4．设是阶可逆方矩阵且,则1/5,56,5×2n,5k.提示：利用矩阵行列式的性质。5．设是四阶单位矩阵的第列，，则.提示：4阶单位矩阵行列式在进行初等列变换时其系数及符号的变化规律。参见作业。共17页第17页6．已知，则　　　，＝　　　　，其中是元素的代数余子式.提示：注意是伴随矩阵转置后

7、的行列式，等于伴随矩阵行列式，故其值为37n-1，此处n=3。表示行列式第2行元素与第三行元素相应代数余子式之和，故为0.（二）选择题1．提示：A2+AB+2I=0→A(A+B)=-2I→

8、A(A+B)

9、=

10、-2I

11、→

12、A

13、

14、A+B

15、=(-2)3

16、I

17、→

18、A+B

19、=-42．（A）（B）（C）（D）提示：

20、AB

21、=

22、A

23、

24、B

25、=

26、BA

27、3．设阶矩阵,若矩阵的秩为,则必为                                                                                 

28、                                                     (        )提示：参见书本及作业上的例子。4．提示：参见前面的内容。5．　()提示：(AB)2=I→ABAB=I→A(BAB)=I→A-1=BAB(AB)2=I→