专题：《网格问题》1

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1、2006年课改实验区中考数学中的格点图形上海市竹园中学黄益平网格是学生从小就熟悉的图形，在网格中研究格点图形，具有很强的可操作性，这和新课程的理念相符合，因此它也成为近几年新课程中考的热点问题．格点图形问题常见的题型有：一、考查坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的．二、在网格中运用勾股定理进行计算．三、分类讨论思想在格点问题中的运用．四、网格中图形变换的画图与描述．五、网格图形的操作方案设计问题．【例18】（2006，绍兴）如图，在网格中有两个全等的图形(阴影部分)，用这两个图形拼成轴对称图形，试分

2、别在图(1)、(2)中画出两种不同的拼法．[解析]这是一道人性化的操作型开放题，只要理解了轴对称图形的意义，选取一条适当的直线作对称轴，就可以画出符合题意的图形．【例19】（2006，沈阳）如图，在方格纸(每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形)中，我们称每个小正方形的顶点为格点，以格点为顶点的图形称为格点图形．如图中的△ABC称为格点△ABC．（1）如果A、D两点的坐标分别是(1，1)和(0，－1)，请你在方格纸中建立平面直角坐标系，并直接写出点B、点C的坐标；（2）请根据你所学过的平移、旋转或轴

3、对称等知识，说明图中“格点四边形图案”是如何通过“格点△ABC图案”变换得到的．[解析]第（2）小题又是一道百花争艳满园春的开放题．“格点△ABC图案”不论翻折还是旋转，都可以得到“格点四边形图案”，条条道路通罗马．同学们在表述时，注意语言的简洁、准确．例如：把“格点△ABC图案”向右平移10个单位长度，再向上平移5个单位长度，以点P（11，4）为旋转中心，按顺时针方向旋转180°，即得到“格点四边形图案”．（根据版面，这个图形可以删去）【例20】（2006，北京）请阅读下列材料：问题：现有5个边长为

4、1的正方形，排列形式如图1，请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：画出分割线并在正方形网格图(图中每个小正方形的边长均为1)中用实线画出拼接成的新正方形．小东同学的做法是：设新正方形的边长为x(x＞0)．依题意，割补前后图形的面积相等，有，解得．由此可知新正方形的边长等于两个小正方形组成的矩形对角线的长．于是，画出如图2所示的分割线，拼出如图3所示的新正方形．图1图2图3请你参考小东同学的做法，解决如下问题：现有10个边长为1的正方形，排列形式如图4，请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：在图

5、4中画出分割线，并在图5的正方形网格图(图中每个小正方形的边长均为1)中用实线画出拼接成的新正方形．说明：直接画出图形，不要求写分析过程．图5图4[解析]“依葫芦画瓢”是同学们最朴素、最直接的学习方法，设，解得．等于三个小正方形组成的矩形对角线的长．于是，画出如图6所示的分割线，拼出如图7所示的新正方形．本题用方程的思想解决几何问题，又用到勾股定理，是体现新课程理念的一道好题目．图6图7【例21】（2006，连云港）操作与探究：（1）图①是一块直角三角形纸片．将该三角形纸片按如图方法折叠，使点A与点C

6、重合，DE为折痕．试证明△CBE等腰三角形；（2）再将图①中的△CBE沿对称轴EF折叠(如图②)．通过折叠，原三角形恰好折成两个重合的矩形，其中一个是内接矩形，另一个是拼合(指无缝无重叠)所成的矩形，我们称这样的两个矩形为“组合矩形”．你能将图③中的△ABC折叠成一个组合矩形吗？如果能折成，请在图③中画出折痕；（3）请你在图④的方格纸中画出一个斜三角形，同时满足下列条件：①折成的组合矩形为正方形；②顶点都在格点(各小正方形的顶点)上；（4）有一些特殊的四边形，如菱形，通过折叠也能折成组合矩形(其中的内

7、接矩形的四个顶点分别在原四边形的四条边上)．请你进一步探究，一个非特殊的四边形(指除平行四边形、梯形外的四边形)满足何条件时，一定能折成组合矩形？AAABCBBDCEEDCF图①图②图③图④[解析]这道题目从特殊到一般，从简单到复杂通过操作实践，探究中点四边形是矩形的条件．我们在平行四边形一章中学习过，中点四边形一定是平行四边形，原四边形对角线的位置关系和数量关系决定中点四边形的形状：原四边形对角线垂直，中点四边形为矩形；原四边形对角线相等，中点四边形为菱形；原四边形对角线垂直且相等，中点四边形为正方

8、形．在图③中，画△ABC的BC边的高AD和BC边的中位线EF，再画AD边的中位线EM、FN，则折痕为EF、EM、FN．在图④中画一个锐角△ABC，只要一边上的高等于该边上的长就可以了．一个非特殊的四边形满足对角线垂直时，一定能折成组合矩形．这道题目体现了中考题源于课本又高于课本的思想．【例22】（2006，山东）在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定距离，这样的图形变换为平移，如图1，将网格中的三条线段沿网格线的方向（水平或垂直）平移后组成一个首尾依次相