2、)可见鲈鱼的尾数y将减少,由方程(2)可见鳟鱼将增加.反之,当鳟鱼的尾数x(t)a/b时,由方程(3)可见鲈鱼的尾数y将增加,由方程(2)可见鳟鱼尾数x(t)将减少.现在的问题是:设在t=0时鳟鱼和鲈鱼的初值分别是x0和y0尾,要研究这两种鱼的增长情况.是否存在x0>0和y0>0,使得这两种鱼能够和平共处,长期共存呢?首先可见方程组(2),(3)有常数解8.(4)因此在t=0时鳟鱼x0=m/n,和鲈鱼y0=a/b尾时,由方程可见鳟鱼和鲈鱼的增长速度是零,所以鳟鱼和鲈鱼的尾数保持不变.那么这种状态是否是稳定的呢?就是说,若鱼的尾数由于某种原因稍
3、有变化,这两种鱼是否还能和平共处,长期共存呢?由常微分方程的理论,我们知道(m/n,a/b)是方程组的奇点,我们只要分析这个奇点的稳定性就行了.方程组(2),(3)的向量场的Jacobi矩阵在奇点(m/n,a/b)的值是(5)J的两个特征值为,因此奇点是鞍点,鞍点是不稳定的.所以若鱼的尾数由于某种原因稍有变化,这两种鱼的尾数将有大的变化.方程组(2),(3)还有一个奇点(0,0),向量场的Jacobi矩阵在奇点(0,0)的值是(6)J的两个特征值为a>0,m>0,因此奇点(0,0)是不稳定的结点.在奇点(0,0)附近的轨线当时间t增大时都离开奇点(0,0).另外方程组(2
4、),(3)有两条半直线轨道:(1):x=0,y>0,对应的轨线是,表示鲈鱼的尾数呈指数增长.(2):y=0,x>0,对应的轨线是,8表示鳟鱼的尾数呈指数增长.由于奇点(m/n,a/b)是鞍点,当t趋向无穷大时,有两条轨道从相反的方向趋向鞍点,另有两条轨道从鞍点出发以相反的方向离开鞍点.这四条轨道称为鞍点的分界线,研究这些分界线的走向以及方程组的结点(0,0)的性质,其余轨道的大致走向也就清楚了.要知道对于一般的初值鳟鱼和鲈鱼的尾数是怎样变化的,最终是鳟鱼还是鲈鱼生存下来呢?就要解出微分方程组(2),(3).将方程组(2),(3)消去dt,化为如下一阶常微分方程:,(6)(
5、6)式是一个变量分离方程,除了零解(x=0,y=0)和半直线轨道外,可分离变量得,(7)从到对(7)式作定积分得到过的积分曲线:.(8)对(8)式取指数化为形式:,(9)(9)式中的K是常数:.(10)对于鞍点的分界线,因它们趋向及离开鞍点,所以分界线方程的K应由(10)式中取为鞍点:8,(12)而得到.这时(10)式的K值为.(13)记,.由微分法可知是单峰函数,在鞍点的纵坐标时取得最大值,在和时取得最小值零.在区间[0,a/b]上f(y)从零严格单调增加到最大值;在无穷区间y>a/b上f(y)严格单调减少趋向零.同理是单峰函数,在鞍点的横坐标时取得最大值,在时和时取得
6、最小值零.在区间[0,m/n]上g(x)从零严格单调增加到最大值,在无穷区间x>m/n上g(x)严格单调减少趋向零.根据以上事实,可以由分界线方程(9),(13)得出鞍点的四条分界线(红色和蓝色的线)并且根据方程组(2),(3)得出分界线的走向如下示意图:(四条分界线共同的端点是鞍点(m/n,a/b)).y8x其中x轴和y轴分别是两条分界线(用蓝色表示)的渐近线,红色的一条分界线从结点走向鞍点,红色的另一条分界线当t趋向负无穷大时趋向无穷远.于是其他轨道的走向(用黑色表示)也就知道了.从图可见,分界线将第一象限分成四个区域,当初始点(x0,y0)位于这四个区域之一时,当时
7、间趋向无穷大时,x(t)和y(t)中总有一个趋向零,而另一个趋向无穷大.具体而言,当初始点落在红线下方时,最终只有鳟鱼x生存,当初始点落在红线上方时,最终只有鲈鱼y生存.初始点落在红线上时,轨道趋向鞍点,而鞍点和结点是不稳定的,所以不管怎样,实际上只有一个能够生存.这说明了对于竞争模型,不同的物种是有排他性的,这称为竞争排他原理.微分动力系统的应用(二)—捕食模型在生物界除了两个物种之间的竞争性以外,8还有一种是捕食与被捕食的关系.例如在南极海洋中生活的鬚鲸和南极虾就是这种关系.设南极虾的数量是x(t),鲸的数量是y(t),鬚
