泰勒公式及其应用_数学毕业论文

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1、(×学×校×名×)题目泰勒公式及其应用学生××指导教师××教授年级专业数学与应用数学系别学校名和日期×××××郑重声明本人的毕业论文是在指导教师刘丽梅的指导下独立撰写并完成的。毕业论文没有剽窃、抄袭、造假等违反学术道德、学术规范和侵权行为，本人愿意承担由此产生的各种后果，直至法律责任；并愿意通过网络接受公众的监督。特此郑重声明。毕业论文作者（签名）：年月日目录中文摘要、关键词……………………………………………（II）1、前言…………………………………………………………（1）2、预备知识………………………………………………………（1）2.1泰勒多项式………………………………

2、…………………（1）2.2Taylor公式的各种余项……………………………………（2）3、泰勒公式的应用………………………………………………（7）3.1泰勒公式在近似计算上应用…………………………………（7）3.2利用泰勒公式求极限…………………………………………（9）3.3初等函数幂级数的展开式…………………………………（11）3.4利用泰勒公式证明不等式…………………………………（11）3.5判断级数的敛散性………………………………………（13）3.6证明根的唯一性存在性……………………………………（15）3.7判断函数的极值…………………………………………（15）3

3、.8求高阶导数在某点的数值…………………………………（16）3.9求行列式的值………………………………………………（18）3.10判断函数凹凸性及拐点……………………………………（19）结束语……………………………………………………………（22）参考文献…………………………………………………………（23）英文摘要、关键词……………………………………………（III）泰勒公式及其应用自己名字×××摘要泰勒公式作为《数学分析》这门课程是最基础和最重要的内容，作为一种研究将一些复杂函数近似地表示为简单的多项式函数的有效工具，是应该牢固掌握的，也是我们学习《数学分析》中所必须具备的

4、知识.本文介绍了泰勒多项式并引出了泰勒公式和其函数的展开式，针对泰勒公式讨论了10个问题，即用泰勒公式进行近似运算、利用泰勒公式求函数的极限、利用泰勒公式将初等函数展开成幂级数、证明不等式、判断级数的敛散性、证明根的唯一性存在性、判断函数的极值、求高阶导数在某点的数值、求行列式的值以及泰勒公式在函数凹凸性及拐点判断中的应用.在解决这些问题时采用了我们所熟悉的有关泰勒公式的定义和介值定理，利用相应的例题让我们更深地理解泰勒公式的应用以及它所起的作用.关键词泰勒公式，极限，敛散性，极值1引言随着计算机和通信技术的迅速发展，在自然科学和工程技术等众多领域中，利用计算进行近似计算

5、，已成为科学研究和工程设计中不可缺少的一个重要环节，也就是说近似计算方法是一种很重要的科学研究方法，泰勒公式是一个多项式的拟合问题，而多项式是一种简单函数，它的研究对我们来说是很轻松地，而且研究也是很方便的，特别是对计算机编程计算是极为方便，如果将所研究的对象转化为多项式，那么问题就会比较简单了.这就使我们想到可不可以把泰勒公式应用到这些领域呢？因此有很多的科学家和学者对此做出了重要的贡献.首先来看一下泰勒理论创始人泰勒是如何研究的.泰勒（1685-1731）主要是从有限差分出发，得到戈里-牛顿插值公式，然后令初始变量为零，项数为无穷，但没有给出余项的具体表达式，随后后人

6、的不断研究与完善，形成今天我们学习使用的泰勒公式，现代也有很多期刊和教材对这部分内容进行了介绍，对近似计算上的应用介绍也比较全面，较系统.但是其它领域的应用则显简单，不系统，不全面，为了方便以后的学习，有必要对此部分内容进行归纳总结.2预备知识2.1泰勒多项式我们在学习导数和微分概念时已经知道，如果函数在可导，则有即在点附近，用一次多项式逼近时，其误差为的高阶无穷小量.然而在很多场合，取一次多项式逼近时是不够的，往往需要用二次或高于二次的多项式取逼近，并要求误差为，其中为多项式的次数.为此，我们考察任一次多项式(1)逐次求它在点处的各阶导数，得到，即由此可见，多项式的各项

7、系数由其在点的各阶导数值所唯一确定.对于一般函数，设它在点存在直到阶的导数.由这些导数构造一个次多项式,（2）称为函数在点处的泰勒（Taylor）多项式，的各项系数称为泰勒系数.2.2Taylor公式的各种余项带有佩亚诺型余项的泰勒公式由上节对多项式系数的讨论，易知与其泰勒多项式在点有相同的函数值和相同的直至阶导数值，即（3）下面将要证明，即以（2）式所示的泰勒多项式逼近时，其误差为关于的高阶无穷小量.定理2.1若函数在点存在直至阶导数，则有，即（4）证设现在只要证由关系式（3）可知，，并易知因为.存在，所以在点的某邻域内存在