数学与应用数学毕业论文-关于斜幂等矩阵性质的探讨

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1、莆田学院毕业论文题目关于斜幂等矩阵性质的探讨学生姓名学号专业数学与应用数学班级数本054指导教师二00九年五月十日14傅小燕关于斜幂等矩阵性质的探讨目录摘要（1）0引言（1）1一些引理（2）2单个斜幂等矩阵的性质（4）3多个斜幂等矩阵的运算性质（6）4斜幂等矩阵的等价条件（10）结束语（14）致谢（14）参考文献（14）14关于斜幂等矩阵性质的探讨关于斜幂等矩阵性质的探讨（数学与应用数学系指导老师：晏瑜敏）摘要：本文主要是对斜幂等矩阵的某些性质进行探讨、研究.在与幂等矩阵性质的对照下，本文得出主要的相关结论有：单个斜幂等矩阵的性质，多个斜幂等矩阵的运算

2、性质以及矩阵为斜幂等矩阵的等价条件.通过这些斜幂等矩阵性质的研究，揭示了斜幂等矩阵与幂等矩阵在一般性质上的异同点，以及为进一步认识斜幂等矩阵奠定基础.关键词：斜幂等矩阵幂等矩阵秩矩阵.Abstract:Somepropertiesofthesrew-idempotentmatrixarediscussedandstudiedinthispaper.Incomparisonwiththepropertiesofidempotentmatrix,theprimaryconclusionsinthispaperarethepropertiesofsingle

3、srew-idempotentmatrix,multiplesrew-idempotentmatrixandoperationpropertiestheequivalentconditionofissrew-idempotentmatrix.Accordingtothestudyoftheseproperties,thesameanddifferentpointsbetweentheidempotentmatrixandsrew-idempotentmatrixarerevealed,aswellasabetterunderstandingofidem

4、potentmatrixinclinedtolaythefoundation.Keywords:srew-idempotentmatrixidempotentmatrixrankequivalentcondition0引言表示数域上的阶矩阵构成的集合；符号分别表示矩阵的转置，逆，伴随矩阵，秩，迹；表示阶单位矩阵；表示阶单位矩阵；表示的列空间，即；表示的行空间，即；表示的维数；表示线性变换的值域,即；的维数称为的秩；表示的核，即；的维数称为的零度.设，若满足，则称矩阵是幂等矩阵；若满足，则在参考文献[1-2]中称矩阵是斜幂等矩阵；若满足，则称矩阵是对合矩

5、阵.幂等矩阵是一类很重要的矩阵，在矩阵理论中有着较广泛的应用，它的相关结论也已经被许多学者研究，见文献[3-8].而关于斜幂等矩阵的文章却不多，在国内的相关文章只有参考文献[1-2].在参考文献[1]中研究的是关于斜幂等矩阵的一些秩的等式，它是利用幂等矩阵秩的有关等式来刻画斜幂等矩阵的一些与秩有关的等式，从而给出了两个斜幂等矩阵的和、差以及乘积仍为斜幂等矩阵的等价条件.在文献[2]中研究的是用广义逆刻画斜幂等矩阵的性质，它是利用广义Schur补14关于斜幂等矩阵性质的探讨的最小秩给出斜幂等矩阵的一些与广义逆有关的性质.文献[3-8]中研究的都是关于幂等

6、矩阵的一般性质，这就启发我们在幂等矩阵这些性质的对照下研究斜幂等矩阵的一般性质.下面先给出几个引理：1一些引理引理1.1（见文献[9，第285题]）设是阶方阵，则.引理1.2（见文献[10，第304页]）设是维线性空间的线性变换，则的一组基的原像及的一组基合起来是的一组基.由此还有的秩+的零度=.引理1.3设矩阵是斜幂等矩阵，则存在可逆矩阵，使得，其中.证明设维线性空间的一组基，定义线性变换如下：由知，任意，则存在一个，使得，那么取任意,则，即.因此.又由引理2可得.在中取基，在中取基，则是的一组基，且有即在基下的矩阵为.故存在一个可逆矩阵，使得，即.

7、则结论得证.引理1.4（见文献[6，性质7]）设是秩为的幂等矩阵，则，其中，是秩为的阶矩阵，是秩为的阶矩阵.引理1.5（见文献[6，性质5]）设是幂等矩阵，则的秩等于的迹，即.引理1.6（见文献[3，推论3.2]）设为阶矩阵，且，则可写成两个对称矩阵之积.引理1.7（见文献[6，性质1]）设是阶幂等矩阵，对任意实数，则是可逆矩阵.引理1.8（见文献[5，性质7][3，定理5][4，定理2][4，定理8]）14关于斜幂等矩阵性质的探讨设均为幂等矩阵，则有以下结果：1）为幂等矩阵的充分必要条件是；2）如果，那么；3）若，则存在阶可逆矩阵，使得与都为对角矩阵

8、，且主对角上的元素为0或1；4）若，则可逆，且.引理1.9（见文献[8，性质9][3，定理1]