圆锥曲线直线及圆锥曲线的位置关系

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1、--直线与圆锥曲线位置关系一、根底知识：〔一〕直线与椭圆位置关系1、直线与椭圆位置关系：相交〔两个公共点〕，相切〔一个公共点〕，相离〔无公共点〕2、直线与椭圆位置关系的判定步骤：通过方程根的个数进展判定，下面以直线和椭圆：为例〔1〕联立直线与椭圆方程：〔2〕确定主变量〔或〕并通过直线方程消去另一变量〔或〕，代入椭圆方程得到关于主变量的一元二次方程：，整理可得：〔3〕通过计算判别式的符号判断方程根的个数，从而判定直线与椭圆的位置关系①方程有两个不同实根直线与椭圆相交②方程有两个一样实根直线与椭圆相切③

2、方程没有实根直线与椭圆相离3、假设直线上的某点位于椭圆部，那么该直线一定与椭圆相交〔二〕直线与双曲线位置关系1、直线与双曲线位置关系，相交，相切，相离2、直线与双曲线位置关系的判定：与椭圆一样，可通过方程根的个数进展判定以直线和椭圆：为例：〔1〕联立直线与双曲线方程：，消元代入后可得：〔2〕与椭圆不同，在椭圆中，因为，所以消元后的方程一定是二次方程，但双曲线中，消元后的方程二次项系数为，有可能为零。所以要分情况进展讨论..word.zl--当且时，方程变为一次方程，有一个根。此时直线与双曲线相交，只

3、有一个公共点当时，常数项为，所以恒成立，此时直线与双曲线相交当或时，直线与双曲线的公共点个数需要用判断：①方程有两个不同实根直线与双曲线相交②方程有两个一样实根直线与双曲线相切③方程没有实根直线与双曲线相离注：对于直线与双曲线的位置关系，不能简单的凭公共点的个数来判定位置。尤其是直线与双曲线有一个公共点时，如果是通过一次方程解出，那么为相交；如果是通过二次方程解出一样的根，那么为相切〔3〕直线与双曲线交点的位置判定：因为双曲线上的点横坐标的围为，所以通过横坐标的符号即可判断交点位于哪一支上：当时，点

4、位于双曲线的右支；当时，点位于双曲线的左支。对于方程：，设两个根为①当时，那么，所以异号，即交点分别位于双曲线的左，右支②当或，且时，，所以同号，即交点位于同一支上〔4〕直线与双曲线位置关系的几何解释：通过〔2〕可发现直线与双曲线的位置关系与直线的斜率相关，其分界点刚好与双曲线的渐近线斜率一样。所以可通过数形结合得到位置关系的判定①且时，此时直线与渐近线平行，可视为渐近线进展平移，那么在平移过程中与双曲线的一支相交的同时，也在远离双曲线的另一支，所以只有一个交点..word.zl--②时，直线的斜率

5、介于两条渐近线斜率之中，通过图像可得无论如何平移直线，直线均与双曲线有两个交点，且两个交点分别位于双曲线的左，右支上。③或时，此时直线比渐近线“更陡〞，通过平移观察可得：直线不一定与双曲线有公共点〔与的符号对应〕，可能相离，相切，相交，如果相交那么交点位于双曲线同一支上。〔三〕直线与抛物线位置关系：相交，相切，相离1、位置关系的判定：以直线和抛物线：为例联立方程：，整理后可得：〔1〕当时，此时方程为关于的一次方程，所以有一个实根。此时直线为水平线，与抛物线相交〔2〕当时，那么方程为关于的二次方程，可

6、通过判别式进展判定①方程有两个不同实根直线与抛物线相交②方程有两个一样实根直线与抛物线相切③方程没有实根直线与抛物线相离2、焦点弦问题：设抛物线方程：，过焦点的直线〔斜率存在且〕，对应倾斜角为，与抛物线交于联立方程：，整理可得：〔1〕..word.zl--〔2〕〔3〕〔四〕圆锥曲线问题的解决思路与常用公式：1、直线与圆锥曲线问题的特点：〔1〕题目贯穿一至两个核心变量〔其余变量均为配角，早晚利用条件消掉〕，〔2〕条件与直线和曲线的交点相关，所以可设，至于坐标是否需要解出，那么看题目中的条件，以及坐标的

7、形式是否复杂〔3〕通过联立方程消元，可得到关于〔或〕的二次方程，如果所求的问题与两根的和或乘积有关，那么可利用韦达定理进展整体代入，从而不需求出〔所谓“设而不求〞〕〔4〕有些题目会涉及到几何条件向解析语言的转换，注重数形几何，注重整体代入。那么可简化运算的过程这几点归纳起来就是“以一个〔或两个〕核心变量为中心，以交点为两个根本点，坚持韦达定理四个根本公式〔，坚持数形结合，坚持整体代入。直至解决解析几何问题“2、韦达定理：是用二次方程的系数运算来表示两个根的和与乘积，在解析几何中得到广泛使用的原因主要

8、有两个：一是联立方程消元后的二次方程通常含有参数，进而导致直接利用求根公式计算出来的实根形式非常复杂，难以参与后面的运算；二是解析几何的一些问题或是步骤经常与两个根的和与差产生联系。进而在思路上就想利用韦达定理，绕开繁杂的求根结果，通过整体代入的方式得到答案。所以说，解析几何中韦达定理的应用本质上是整体代入的思想，并不是每一道解析题必备的良方。如果二次方程的根易于表示〔优先求点，以应对更复杂的运算〕，或者所求的问题与两根和，乘积无关，那么韦达定理毫无用武之地。3、直线