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1、第一章线性规划及单纯形法（作业）1.4分别用图解法和单纯型法求解下列线性规划问题，并对照指出单纯形表中的各基可行解对应图解法中可行域的哪一顶点。（1）Maxz=2x1+x2St.解：①图解法：OCBEDA9/48/55534由作图知，目标函数等值线越往右上移动，目标函数越大，故c点为对应的最优解，最优解为直线的交点，解之得X=(15/4,3/4)T。Maxz=33/4.②单纯形法：将上述问题化成标准形式有：Maxz=2x1+x2+0x3+0x4St.其约束条件系数矩阵增广矩阵为：P1P2P3P4P3,P4为单位矩阵，构成一个基，对应变量向，x3,x4为基变量，令非基变量x1,x2为零
2、，找到一个初始基可行解X=(0,0,15,24)T.Cj2100基可行解及对应点C基bX1X2X3X40X31535105X=，O点0X424201421000X3301-1/23/4X=，D点2X1411/301/61201/30-1/31X23/4011/4-1/8X=，C点2X115/410-1/125/2400-1/12-7/24由于所有0且基变量中不含人工变量，故表中的可行解X=（15/4，3/4，0，0）T为最优解，代入目标函数得Maxz=33/4.1.7分别用单纯形法中的大M法和两阶段法求解下列线性规划问题，并指出属哪一类。（3）Minz=4x1+x2解：这种情况化为标
3、准形式：Maxz＇=-4x1-x2添加人工变量y1,y2Maxz＇=-4x1-x2+0x3+0x4-My1-My2(1)大M法：Cj-4-100-M-MC基bX1X2X3X4Y1Y2-MY13100101-MY2643-10013/20X441201004-4+7M-1+4M-M000-4X1111/3001/303-MY220-10-4/316/50X4305/301-1/309/501/3+5/3M-M04/3-7M/30-4X13/5101/509/15-1/53-1X26/501-3/50-4/53/5-20X410011-11001/50-M+8/5-M-1/5-4X12/
4、5100-1/52/50-1X29/50103/5-1/500X3100111-1000-1/5-M+7/5-M由于所有0，故表中的基可行解X=(2/5,9/5,1,0,0,0)T为最优解，Minz=17/5.(2)两阶段法：Min=y1+y2St.单纯形迭代法的过程如下表：Cj0000-1-1C基bX1X2X3X4Y1Y2-1Y13100101-1Y2643-10013/20X44120100474-1000-4X1111/3001/303-1Y220-10-4/316/50X4305/301-1/309/505/3-10-7/300X13/5101/509/15-1/50X26/
5、501-3/50-4/53/50X4100111-10000-1-1第二阶段，将表中y1,y2去掉，目标函数回归到Maxz＇=-4x1-x2+0x3+0x4Cj-4-100C基bX1X2X3X4-4X13/5101/503-1X26/501-3/50-20X410011001/50-4X12/5100-1/5-1X29/50103/50X310011000-1/5由于所有0，故表中的基可行解X=(2/5,9/5,1,0,0,0)T为最优解，Minz=17/5.第二章线性规划的对偶理论与灵敏度分析（作业）2.7给出线性规划问题：Maxz=2x1+4x2+x3+x4要求：（1）写出其对偶
6、问题；（2）已知原问题最优解为X=(2,2,4,0),试根据对偶理论，直接求出对偶问题的最优解。解：（1）对偶问题为Min=8y1+6y2+6y3+9y4(2)由互补松弛性可知：x1+x2+x3=8<9为严格不等式y4=0.相反，其对偶问题的约束条件（1），（2），（3）的对偶变量值为非零（对偶问题的对偶即原问题），有y1=4/5,y2=3/5,y3=1即对偶问题的最优解为Y=(4/5,3/5,1,0)2.11已知线性规划问题Maxz=2x1-x2+x3先用单纯型法求出最优解，，再分析在下列条件变化的情况下最优解的变化（1）目标函数变为Maxz=2x1+3x2+x3;（2）约束右端项
7、由变为；（3）增添一个新的约束条件-x1+2x3.解：单纯形法求解：先化为标准形式有Maxz=2x1-x2+x3+0x4+0x5系数矩阵的增广矩阵为：P1P2P3P4b初始基可行解为：x=(0,0,0,6,4)用单纯型法求解过程如下：Cj2-1100C基bX1X2X3X4X50X4611100X54-12001Cj-Zj2-11002X16111100X51003111Cj-Zj0-3-1-20因此最优解为（x1,x2,x3,x4,x5）=(6,0,0,0
