函数值域的十一种求法求法

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1、-.函数值域求法十一种1.直接观察法对于一些比拟简单的函数，其值域可通过观察得到。例1.求函数的值域。解：∵∴显然函数的值域是：例2.求函数的值域。解：∵故函数的值域是：2.配方法配方法是求二次函数值域最根本的方法之一。例3.求函数的值域。解：将函数配方得：∵由二次函数的性质可知：当x=1时，，当时，故函数的值域是：[4，8]3.判别式法例4.求函数的值域。解：原函数化为关于x的一元二次方程〔1〕当时，解得：〔2〕当y=1时，，而-.word.zl.-.故函数的值域为例5.求函数的值域。解：两边平方整理得：〔1〕∵∴解得：

2、但此时的函数的定义域由，得由，仅保证关于x的方程：在实数集R有实根，而不能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程〔1〕有实根，由求出的围可能比y的实际围大，故不能确定此函数的值域为。可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。∵代入方程〔1〕解得：即当时，原函数的值域为：注：由判别式法来判断函数的值域时，假设原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的局部剔除。4.反函数法直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。例6.求函数值域。解：由原函数式可得：那么其反函数为：，其定义域为：

3、故所求函数的值域为：5.函数有界性法-.word.zl.-.直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域。例7.求函数的值域。解：由原函数式可得：∵∴解得：故所求函数的值域为例8.求函数的值域。解：由原函数式可得：，可化为：即∵∴即解得：故函数的值域为6.函数单调性法例9.求函数的值域。解：令那么在[2，10]上都是增函数所以在[2，10]上是增函数当x=2时，当x=10时，-.word.zl.-.故所求函数的值域为：例10.求函数的值域。解：原函数可化为：令，显然在上为无上界的增函数所以，

4、在上也为无上界的增函数所以当x=1时，有最小值，原函数有最大值显然，故原函数的值域为7.换元法通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作用。例11.求函数的值域。解：令，那么∵又，由二次函数的性质可知当时，当时，故函数的值域为例12.求函数的值域。解：因即故可令∴∵-.word.zl.-.故所求函数的值域为例13.求函数的值域。解：原函数可变形为：可令，那么有当时，当时，而此时有意义。故所求函数的值域为例14.求函

5、数，的值域。解：令，那么由且可得：∴当时，，当时，故所求函数的值域为。-.word.zl.-.例15.求函数的值域。解：由，可得故可令∵当时，当时，故所求函数的值域为：8.数形结合法其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目假设运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。例16.求函数的值域。解：原函数可化简得：上式可以看成数轴上点P〔x〕到定点A〔2〕，间的距离之和。由上图可知，当点P在线段AB上时，当点P在线段AB的延长线或反向延长线上时，故所求函数的值域为：例17.求函数

6、的值域。解：原函数可变形为：上式可看成x轴上的点到两定点的距离之和，由图可知当点P为线段与x轴的交点时，，故所求函数的值域为-.word.zl.-.例18.求函数的值域。解：将函数变形为：上式可看成定点A〔3，2〕到点P〔x，0〕的距离与定点到点的距离之差。即：由图可知：〔1〕当点P在x轴上且不是直线AB与x轴的交点时，如点，那么构成，根据三角形两边之差小于第三边，有即：〔2〕当点P恰好为直线AB与x轴的交点时，有综上所述，可知函数的值域为：注：由例17，18可知，求两距离之和时，要将函数式变形，使A、B两点在x轴的两侧，

7、而求两距离之差时，那么要使A，B两点在x轴的同侧。如：例17的A，B两点坐标分别为：〔3，2〕，，在x轴的同侧；例18的A，B两点坐标分别为〔3，2〕，，在x轴的同侧。9.不等式法利用根本不等式，求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时需要用到拆项、添项和两边平方等技巧。例19.求函数的值域。解：原函数变形为：当且仅当-.word.zl.-.即当时，等号成立故原函数的值域为：例20.求函数的值域。解：当且仅当，即当时，等号成立。由可得：故原函数的值域为：10.一一映射法原理：因

8、为在定义域上x与y是一一对应的。故两个变量中，假设知道一个变量围，就可以求另一个变量围。例21.求函数的值域。解：∵定义域为由得故或解得故函数的值域为11.多种方法综合运用例22.求函数的值域。-.word.zl.-.解：令，那么〔1〕当时，，当且仅当t=1，即时取等号，所以〔2〕当t=0时，y=0。综