图形中的趣题

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1、------------------------------------------作者xxxx------------------------------------------日期xxxx图形中的趣题【精品文档】《图形中的趣题》活动方案一、活动目的人们普遍把数学教学视为“思维的体操”，这自然是有道理的。但在实际上又常常仅侧重于逻辑思维，这就偏狭了。针对我国数学“双基”教学的薄弱环节，特别强调在培养学生发散思维、创造思维上进行教学设计是适当的。根据现实的需要，我们必须适当拓展中学数学习题的观念，构建基础性训练与探索性训练相结合的习题体系，通过设

2、计数学问题，培养学生的发散性、创造性思维，有效改进学生的学习。下面是一个探索性课题。二、活动内容一个三角形两边中点的连线叫做这个三角形的中位线。我们可以看到图1中三角形的三条中位线把这个三角形分成了4个小的三角形，而且这些小的三角形都是全等的。图1图2图3把三条边都分成三等分，再按图2将分点连起来，可以看到整个三角形被分成了9个小的三角形，而且这些小的三角形也都是全等的。我们还可以把三条边都分成四等分如图3，再似图1、图2那样将分点连起来，可以看到整个三角形被分成了一个个更小的全等三角形。现在请你和你的同学起参与如下的探索活动：（一）、收集数据:

3、1．数一数图1、图2中的点、线段和全等三角形的个数，用一张表记录下来；2．再把三条边都分成四等分，似图1、图2、图3那样将分点连起来，数一数这时的点、线段和全等三角形的个数，也记录在相应的表格中；三角形的边的等分数k点的个数线段的个数全等三角形的个数2【精品文档】【精品文档】34（二）、数据分析1．仔细分析所得到的一些数据，相互交流讨论，想一想其中有什么关系；三角形的边的等分数k点的个数线段的个数全等三角形的个数26943101894153016猜想1：全等三角形的个数等于等分数的平方。即，，。猜想2：线段的条数都是3的倍数。猜想3：点的个数，，

4、猜想4：线段的条数和点的个数的关系：，，猜想5：线段的条数，，猜想6：＝，，，猜想7：┉┉┉┉┉继续把三条边都分成五、六……等分、似图1、图2那样将分点连起来，数一数这时的点、线段和全等三角形的个数，看看与你的猜想是否符合；三角形的边的等分数k点的个数线段的个数全等三角形的个数2694310189415301652145256286336【精品文档】【精品文档】…………n通过对当k＝2,3,4,5,6时，，，的值的观察，探究它们之间的关系，＝，，，下面我们研究的求和：不妨设，那么对这一组数进行倒序即。把两个数组对齐上下逐逐项累加，得所以＝，，（三

5、）、结构分析以上我们对它们从代数方面进行考虑，通过找数据的规律得出了点、线段、小三角形个数与边的等分数k之间的关系。那么由它们的几何结构我们能否得到相应的结论呢？1.如果我们仅看图形中的点不难发现每一层都比上一层多一点，那么等分成k份就有了k+1层的点，这就解释了为什么所以2.如果我们把图形中的线段也用分层的方法来看，每三条线段看成是一个三角形的三条边，不难发现每一层都比上一层多一个三角形。那么等分成k份就有了k层三角形，所以即【精品文档】【精品文档】1.对于图中三角形的个数就比较容易一些，把两个相同的图形拼成一个平行四边形，按照三角形的等分方法

6、可以看出平行四边形被等分成个小平行四边形，每一个小平行四边形由两个小全等三角形构成。所以一共有个小全等三角形。即＝，＝。（四）、归纳总结问题解决思路：一、是通过观察图形搜集数据；二、是运用数据分析发现事实并进行猜想；三、是通过数据的结构分析进行严格证明；四、是基于直觉和图形的几何结构创造性地理解事实。通过数形的结合，最后给出问题的解答。活动总结和反思要培养学生的创造力，这是个较好的例子，可供学生在自我监控的思路下，找到不同的解题思路，提出不同的猜想，从不同方面去解决问题。于是，可以对它隐含的知识和能力标准作出如下分析：(1)几何和测量概念(观察平

7、面图形，想象小三角形递增序列的几何模型)；(2)函数和代数概念(用公式对给出的情境构建模型，运用和处理变量表达式，运用函数作结构分析；(3)数学技能和工作(学生制作和运用粗略的表格和图式，提高理解力)；(4)数学交流(由学生自行筹划工作，系统、简明、清晰、准确地表示出数学步骤和结果)。【精品文档】