华东师范大学2008年高等代数考研试题

《华东师范大学2008年高等代数考研试题》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、华东师范大学2008年攻读硕士学位研究生入学试题考试科目代码及名称：高等代数以下，为整数集，为有理数域，实数域表示单位矩阵，表示的转置。第一部分选择题、是非题、填空题：（15*4=60分）1．设是非齐次线性方程组的三个解，则下列向量中，（）仍是的解。（A）（B）（C）（D）2．设是一个阶方阵，则线性空间的维数等于（）（A）的特征多项式的次数（B）的最小多项式的次数（C）的初等因子的个数（D）的秩3．每个2007阶实矩阵至少有一个实特征值。（）4．设是由数域上维线性空间的一个线性变换，则。（）5．设是一个三阶实对称矩阵，1，-1是的两个特征值，其中-1是的一个二重特征值。已知是的属于

2、特征值1的特征向量。则是的属于特征值-1的正交特征向量。6．设如果向量组与向量组等价，则。7．对任意实矩阵，齐次线性方程组与齐次线性方程组的解都相同。（）8．对于多项式，下列论断正确的是．(A)如果对任意的，都有，则的系数都是有理数；(B)如果对任意的，都有，则的系数都是实数；(C)如果对任意的，都有，则的系数都是整数；(D)如果对任意的，都有，则的系数都是正数。9正交变换的属于不同的特征值的特征向量正交。（）10．如果有有理根，则。11．为多项式的重根的充分必要条件是为的重根。（）12．设是的矩阵，是维列向量，则下列命题正确的是（）(A)当有非零解时，则也有解；(B)当有解时，则

3、必有无穷多解；(C)当有唯一时，则也有唯一解；(D)当无解时，则仅有零解。13．已知矩阵的特征多项式，则的逆矩阵是。14．实二次型的正、负惯性指数分别是。15．已知是阶方阵，如果，则。（）第二部分计算题、证明题（共6题，共90分）16．（20分）设是由数域上一个矩阵，是一个维非零列向量。令（1）证明：关于的运算构成的一个子空间；（2）设线性方程组的增广矩阵的秩为，证明的维数；（3）对于非齐次线性方程组求的一个基。17．（10分）试求矩阵的若当典范形（Jordancanonicalform）.18．（20分）设矩阵（1）证明为正定矩阵；（2）试求正定矩阵，使。19．（10分）设是有理

4、数域上的一个不可约多项式，是在复数域上的根，是任一个有理系数多项式，使不能被整除。证明：存在有理系数多项式，使。20．（20分）易知，当是不全为零的有理数时，成立等式（1）证明：当为不全为零的有理数时，有（2）应用上述公式，将根式分母有理化；（3）请将（1）中的公式推广到一般的情形。21．（10分）设，是两个特征值都是正数的阶实矩阵，证明：如果，则