05函数中的图形平移、旋转、折叠问题及其解法

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1、函数中的图形平移、旋转、折叠问题一、函数中的图形平移问题[例1]已知一条直线经过点A（0，4）、点B（2，0）（如图1），将这条直线向左平移与x轴负半轴，y轴负半轴分别交于点C、点D，使DB=DC。求以直线CD为图象的函数解析式。[例2]已知抛物线y=x2-2x-8,若该抛物线与x轴的两个交点分别为A、B（点A在点B的左侧），且它的顶点为P1）求tan∠PAB的值2）如果要使∠PAB=45。，需将抛物线向上平移几个单位？[例3]在直角坐标平面内，把过原点的直线l与双曲线：y=在第一象限的交点记作A，已知A点的横坐标为11）求直线l

2、的函数解析式2）将直线l向上平移4个单位后，直线l与x轴，y轴分别交于B、C两点，求△BOC的面积。二、函数中的图形旋转问题[例4]如图3，边长为2的等边三角形OAB的顶点A在x轴的正半轴上，B点位于第一象限。将三角形OAB绕点O顺时针旋转30度后，点A恰好落在双曲线y=(x>0)上。1）求双曲线y=(x>0)的解析式；2）等边三角形OAB继续按顺时针旋转多少度后，A点再次落在双曲线上？xyoAB图３[例5]如图4，圆O的半径为1，圆心在坐标轴原点，点A的坐标为（-2，0），点B的坐标为（0，b）（b>0）。1）当b为何值时，直线

3、AB与圆O相离？相切？相交？2）当直线AB与圆O相切时，求直线AB的解析式。xyAB(0,b)o图４三函数中的图形折叠问题[例6]已知抛物线y=x2-2x+m与x轴相交于A（x1,0）、B（x2,0）（x2>x1）。1）若点P（-1，2）在抛物线y=x2-2x+m上，求m值。2）若抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=x2-2x+m关于y轴对称，点Q1（-2，q1）、Q2（-3，q2）都在抛物线y=ax2+bx+c上，比较q1与q2的大小。[例7]如图6，矩形AOBC，以O为坐标原点，OB、OA本别在x轴、y轴上，点A的坐标为（0

4、，3），点B的坐标为（5，0），点E是BC边上的一个点，如把矩形AOBC沿AE翻折后，C点恰好落在x轴上点F处。1）求点F的坐标2）求线段AF所在直线的解析式xyoABCEF图6[例8]已知抛物线经过点A（2，0）、B（8，0）C（0，）1）求抛物线的解析式2）设抛物线的顶点为P，把△APB翻折，使点P落在线段AB上（不与A、B重合），记作P′，折痕为EF，设AP′=x，PE=y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；3）当点P′在线段AB上运动但不与AB重合时，能否使三角形EFP′的一边与x轴垂直？若能，请求出此时点P′的坐标；

5、若不能，请你说明理由。xyoABPEFP′G图７四函数中图形平移、旋转、折叠的综合问题[例9]如图8，在直角坐标系中，O为原点，点A在x轴的正半轴上，点B在y轴的正半轴上，tg∠OAB=2。二次函数y=x2+mx+2的图像经过点A、B，顶点为D。1）求这个二次函数的解析式2）将△OAB绕点A顺时针旋转90°后，点B落到点C的位置。将上述二次函数的图像沿y轴向上或向下平移后，经过点C,请直接写出点C的坐标和平移后所得图像的函数解析式。3）设（2）中平移后所得的二次函数图像与y轴的交点为B1,顶点为D1。点P在平移后的二次函数图像上，

6、且满足△PBB1的面积是△PDD1的面积的两倍，求点P的坐标。图9xyoBACxyBB1D1Do图１０函数中的图形平移、旋转、折叠问题一、函数中的图形平移问题[例1]已知一条直线经过点A（0，4）、点B（2，0）（如图1），将这条直线向左平移与x轴负半轴，y轴负半轴分别交于点C、点D，使DB=DC。求以直线CD为图象的函数解析式。答案：y=-2x-4【点拨】（1）直线平行则斜率k相同（2）注意函数题目中几何图形的发现、几何性质的应用，（如等腰△BDC三线合一），而这一点在解这类问题时都要注意。xyoABHP4-2(1,-9)图2２

7、[例2]（2005年卢湾23）已知抛物线y=x2-2x-8,若该抛物线与x轴的两个交点分别为A、B（点A在点B的左侧），且它的顶点为P1）求tg∠PAB的值2）如果要使∠PAB=45。，需将抛物线向上平移几个单位？[思路分析]1）由抛物线的解析式可以求出点A（-2，0）、B（4，0）、P（1，-9），由点A、B、P的坐标可以求出等腰△PAB的底边长及底边上的高PH，从而求出tg∠PAB的值为3。2)设抛物线向上平移k个单位，平移后的解析式为y=x2-2x-8+k,此时AB===2（k﹤9）,PH=9-k,由△PAB是等腰直角三角形

8、（如图2），可得AB=2PH，即2=2（9-k）,解得k1=8,k2=9(舍去)，所以需要将抛物线向上平移8个单位。【点拨】（1）抛物线上下平移时，解析式y=ax2+bx+c中a,b不变。（2）注意函数题目中几何性质的应用，将等腰直角三角形的性质“