第二学期第十四次课

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1、第二学期第十四次课第八章有理整数环§1有理整数环的基本概念8.1.1有理整数环的基本概念全体整数所组成的集合中有两种运算：加法和乘法，而且它们满足下面运算法则：1）加法满足结合律；2）加法满足加换律；3）有一个数0，是对任意整数，；4）对任意整数，存在整数，使；5）乘法满足结合律；6）有一个数1，是对任意整数，7）加法与乘法满足分配律：；8）乘法满足加换律；9）无零因子：如果，则。我们把满足上述九条运算性质的代数系统称为有理整数环，并用代表它。“整除”、“互素”、“倍数”、“因数”、“最大公因数”、“最小公倍数”等概

2、念在小学和中学已介绍，在这里就不再赘述。现在，我们从抽象的角度对“环”这一代数对象作一概述。设是一个非空集合。如果在的元素之间定义了一种运算，称做加法，即对中任意两元素，都按某法则对应于内的一个唯一确定的元素，记作，且满足如下运算法则：（i）结合律：；（ii）中有一元素0，是对一切；（iii）对中任一元素，有；（iv）交换律：。又设内另有一种运算称作乘法，即对中任意两个元素，都按某个法则对应于内一个唯一确定的元素，记作，且满足如下运算法则：（v）结合律：；（vi）加法与乘法有两方面的分配律：则成为一个环。如果一个环的

3、乘法也满足交换律，则称为交换环；如果环内存在一个元素，使，则称为的单位元素，称为有幺元的环；如果环内存在两个非零元，使，则（）称为左（右）零因子，这时称为有零因子环；如果环至少包含两个元素，可交换，有幺元，无零因子，则称为一个整环；如果是一个整环，且对内任一非零元素都有逆元，则称为一个域。8.1.2整除性理论命题（带余除法）对任意，唯一的存在两个整数，满足：证明存在性如果，考虑整数序列则必落在该序列中的某两项之间，从而必存在，使得。令，则有如果，我们有唯一性设另外有使，则进而得到

4、。如果，则等式的左端，但另一方面，即

5、可知等式的右端。这个矛盾说明，从而。定理得证。用辗转相除法求二整数的最大公因子给定整数且，则由得。所以。同理可证，故。给定整数，做带余除法，。若，则。若，则再做带余除法因为，所以经有限步后必有。这时，这种算法叫Euclid算法，也叫辗转相除法。8.1.3有理整数环的理想定义8.1（理想的定义）设是的一个非空子集，且满足下列条件：（i）若，则；（ii）若，则对任意有，则称为的一个理想。显然，单由0组成的子集{0}及自身都是理想，这两个理想称作平凡理想，{0}称为零理想。的其他理想称为非平凡理想。定义8.2（主理想的定义

6、）任给，定义则称为由生成的主理想。显然，(0)={0},(1)=为平凡理想，其他理想均为非平凡主理想。关于理想，我们有以下简单的性质：1）且；2）。命题有理整数环的理想都是主理想，即设是的一个理想，则存在非负整数，使。证明若是零理想{0}，取=0即可。现设，于是中必有非