招生全国统一考试数学理科试题(湖南卷)精校版 试题

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1、2010年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（理工农医类）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，则A．B．C．D．2．下列命题中的假命题是A．，B．，C．，D．，3．极坐标方程和参数方程（t为参数）所表示的图形分别是A．圆、直线B．直线、圆C．圆、圆D．直线、直线4．在中，，，则等于A．B．C．8D．165．等于A．B．C．D．6．在中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c．若，，则A．a＞bB．a＜bC．a=bD．a与b的大小关系不能确

2、定7．在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列（数字允许重复）表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为A.10B.11C.12D.158．用表示两数中的最小值.若函数的图像关于直线对称，则的值为A．B．2C．D．1二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．9．已知一种材料的最佳加入量在110g到210g之间．若用0.618法安排实验，则第一次试点的加入量可以是g．10．如图1所示，过外一点P作一条直线与交

3、于A,B两点．已知PA=2，点P到的切线长PT=4，则弦AB的长为．11．在区间上随机取一个数，则的概率为．12．图2是求的值的程序框图，则正整数．13．图3中的三个直角三角形是一个体积为20的几何体的三视图，则．开始否输出结束是图214．过抛物线的焦点作斜率为1的直线与该抛物线交于两点，在轴上的正射影分别为．若梯形的面积为，则．15．若数列满足：对任意的，只有有限个正整数使得成立，记这样的的个数为，则得到一个新数列．例如，若数列是，则数列是．已知对任意的，，则，．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明

4、过程或演算步骤．16．（本小题满分12分）已知函数．（Ⅰ）求函数的最大值；（Ⅱ）求函数的零点的集合.17．（本小题满分12分）图4是某城市通过抽样得到的居民某年的月均用水量（单位：吨）的频率分布直方图.（Ⅰ）求直方图中的值.（Ⅱ）若将频率视为概率，从这个城市随机抽取3位居民（看作有放回的抽样），求月均用水量在3至4吨的居民数的分布列和数学期望.18．（本小题满分12分）如图5所示，在正方体中，E是棱的中点.（Ⅰ）求直线BE的平面所成的角的正弦值；（Ⅱ）在棱上是否存在一点F，使平面？证明你的结论.19．（本小题满分13分）为了考

5、察冰川的融化状况，一支科考队在某冰川上相距8km的A，B两点各建一个考察基地．视冰川面为平面形，以过A，B两点的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系（图6）．在直线的右侧，考察范围为到点B的距离不超过km的区域；在直线的左侧，考察范围为到A，B两点的距离之和不超过km的区域．（Ⅰ）求考察区域边界曲线的方程；（Ⅱ）如图6所示，设线段，是冰川的部分边界线（不考虑其他边界），当冰川融化时，边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动，第一年移动0.2km，以后每年移动的距离为前一年的2倍，求冰川边界线移动到考察区域所

6、需的最短时间．20.（本小题满分13分）已知函数对任意的，恒有.（Ⅰ）证明：当时，；（Ⅱ）若对满足题设条件的任意b，c，不等式恒成立，求M的最小值.21．（本小题满分13分）数列中，是函数的极小值点.（Ⅰ）当时，求通项；（Ⅱ）是否存在，使数列是等比数列？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由.参考答案一、选择题1.C2.B3.A4.D5.D6.A7.B8.D二、填空题9.171.8或148.210.611.12.10013.414.215.2三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解法

7、2：由得，于是，或即.由可知；由可知.故函数的零点的集合为17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）依题意及频率分布直方图知，，解得.（Ⅱ）由题意知，.因此，.故随机变量的分布列为01230.7290.2430.0270.001的数学期望为.18．（本小题满分12分）解法1：设正方体的棱长为1.如图所示，以为单位正交基底建立空间直角坐标系.（Ⅰ）依题意，得，所以.在正方体中，因为,所以是平面的一个法向量，设直线BE和平面所成的角为，则.即直线BE和平面所成的角的正弦值为.设F是棱上的点，则.又，所以.而，于是为的中点，这说明在棱上存

8、在点F(的中点)，使解法2：（Ⅰ）如图（a）所示，取的中点M，连结EM,BM.因为E是的中点，四边形为正方形，所以EM∥AD.即直线BE和平面所成的角的正弦值为.（Ⅱ）在棱上存在点F，使.事实上，如图（b）所示，分别取和CD的中点F，G，连结.因,且,所以四边形是平行四边形，