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1、对数与对数函数一.基础知识1.对数(1)对数的概念如果abN(a0,a1),那么b叫做以a为底N的对数，记blogaN(a0,a1)(2)对数的性质：①零与负数没有对数②10ga10③10gaa1⑶对数的运算性质①10gaMN10gaM10gaN②10gaM10gaM10gaNN③10gaMnn10gaM其中a>0,aw0,M>0,N>01,m0且m1)(0,+°0)…10gmN口(4)对数换底公式：10gaN(N0,a。且a10gma2.对数函数名称对数函数一般形式y=10gax(a>0且awl)定义域值域(0,+8)过定点(1,0)图象单调性
2、a>1,在(-°°,+8)上为增函数0va<1,在(-8,+oo)上为减函数值分布当a1,且x1时y>0当0a1,且x1时y<0a1,且0x1时y<00a1,且0x1时y>03.记住常见对数函数的图形及相互关系4.几个注意点1.指数函数y=ax与对数函数y=logax(a>0,aw1)互为反函数，从概念、图象、性质去理解它们的区别和联系2.研究对数函数问题，尽量化为同底，并注意对数问题中的定义域限制二、题型剖析1.对数式的化简和运算例1.计算下列各式①书P24例2②2(1g.2)21g21g5,(1g②)21g21思维分析：灵活应用对数的运算法则
3、是关键。解：(1)见书(2)原式=1gJ2(21gJi1g5)J(1gV21)2lg2(lg2lg5(1lg2)1练习。(1)(2)计算[(110g63)2log62log618]log64(1g5)2lg501g2答案:答案:2.换底公式及应用例2(1)已知log535m,求log71.4(2)若1og1227a,求证:log6164(3a)3a思维分析：用换底公式化成相关数质数为对数的底数与真数，再进行代换。解：(1)log53511og57mlog57log71.4110g5g7)5log57110g57log57(2)10g1227log
4、327alog3121210g32log323a2a1og61610g316410g321og36123a2——aIU2a124a2a3a124aa33.指对数互化例3.已知x,y,z为正数，满足3x,、一111①求证：，11②比较2yzx4y6z3x、4y、6z的大小思维分析：掌握指数式与对数式互化是解决问题的一个有效途径。解：①设3x4y6zk(k110g3k，y10g4Kz10g6k10g6k10g3k10gk610gk310gk21-logk422)k1gk03x4ylgklg31g4(1g641g81)04y6z2log4klgk1g2
5、1g62y(1g361g64)03x4y6z练习(变式一)已知a、b、c均是不等于1的正数，且exyab1-0,求abc的值答案:z4.对数函数的图象例4.书P24例2变式一。已知f(x)=ax,g(x)=logax(a>0,aw1),若f(3)xg(3)<0,那么f(x)与g(x)在同一坐标系内的图象可能为(C)5.对数函数的性质书P24例3练习：已知f(x)=log4(2x+3-x2)求(1)f(x)的单调区间;(2)求函数f(x)的最大值及对应的x的值.(3)求函数在单调增区间上的反函数参考答案：递增区间：1,1递减区间：1,3当X=1时y
6、max1y1.44Xx,1三、小结1.对数式的运算、求值、化简、证明等问题主要依据对数的运算法则及性质加以解决，要注意运用方程的观点处理问题。2.指对数互化是解决有关指、对数问题的有效方法。3.指数函数y=ax与对数函数y=logax(a>0,a^1)互为反函数，从概念、图象、性质去理解它们的区别和联系，从而用性质和图象解题。四、作业优化设计备例1。已知过原点。的一条直线与函数y10g8X的图象交于A、B两点，分别过点A、B作y轴的平等线与函数y10g2X的图象交于C、D两点，证明点C、D和原点O在同一直线O
