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1、第三章理想晶体带间光跃迁原子体系：电子体系+声子体系反如）=X（左）”伊，丁）总体系：原子体系+辐射场。二必伊司m（%）=x（发加停行）三（%）直接跃迁一速率和选择定则没有声子参与的光跃迁跃迁初末态就不必标记其声子状态X（小=瓦）初态I。三旦跃迁到末态力三。跃迁速度:归结为计算彼此作用哈密顿量在跃迁初末态之间的矩阵元。费米黄金规则:叼得〈耳心（与_且）()在一级近似下（单光子跃迁），弱辐射场与原子体系（其中的电子体系）彼此作用哈密顿量”/近似为：HI。"7=-2（耳/明）九㈤•万I=Z（e/也）九⑴加■I对此刻的单光子跃迁，其中次
2、冷为相关的光场（模式M）的矢势如（）,（）,（）所示跃迁速率：（一阶微扰）由初末电子态，和,间”）的矩阵元的平方决定2~仞区-exP（土以2）如同“）初末电子态，和〃，：绝热近似，单电子近似和能带近似f理想晶体电子态的能带图像晶体中电子体系的状态可用电子在各个单电子态中的散布情形（BP：电子组态）来描述相应的波函数为行列式波函数理想晶体的带间（直接）光跃迁是光与电子体系彼此作用致使的，在两个电子组态（相应的波函数为行列式波函数）间的跃迁上述矩阵元的性质:注意到微扰哈密顿算符是单电子算符之和，它具有如下的一般形式:()其中右边求和
3、式中的每一项2（，）都只与某一个电子的坐标有关，其形式不随i而变一算符色对电子的互换是对称的下面咱们先讨论算符G的矩阵元的性质，然后由此推断出几个跃迁选择定则。一.单电子算符在行列式波函数间的矩阵元设跃迁初末态的波函数为如下的行列式波函数：A〉=（N!）T2A｛/（1）/（2）・・・以（"）｝三（N!）T2A｛6（力｝（）㈤=（N!）-1/2B｛&（1泡Q）・•・瓦（N）｝三（N!）-，/2B｛尔/）｝（）其中A｛4（/）｝为由N个正交归一的单电子波函数｛4。）｝组成的行列式。B他⑺｝也类似。咱们要计算的矩阵元为单电子算符矩阵元之
4、和JV令算符司代表电子,，/对换的操作,由行列式的性质可知()()()4〉三R/A〉=一A〉1石'〉三R/B〉=T石〉因此有〈4幅(川8，〉=〈川育0)3〉而符号的互换9j,不改变矩阵元的值，即〈4旧。)8，〉=〈川谷())8〉()可得(A£(i)b)=...=(A/(J)5)=...=(A£(N)5)即：A的矩阵元与电子标号无关。于是〈4同3)=%〈川谷(可3)=及〈4信(7)3)引进波函数行列式A｛《。)｝的元素《⑺的代数余子式A..一去掉A｛q(/)｝中的，・行，/列后余下的N-1阶行列式乘以(-1尸于是能够将用用展开，若是
5、取，=N,展开式如下NA〉=(N!)-I/2A{4(J)}=(N!)-1/2工14(%)〉A火i=l()类似的，NIB〉=(N!)-)B{2(/)}=(N!)-1/2Z2，(AO〉B,wi9=()相应地，矩阵元可表示为〈Ag(A0B〉=SZ〈4g(7V)2，〉〈AwB”〉()其中，(AwbQ为波函数行列式Aw和B’w的标积注意：波函数行列式的展开式是单电子波函数的乘积波函数之代数和，波函数行列式间的标积，就是一系列乘积波函数间的标积之和。由于单电子波函数是彼此正交归一的，因此，仅当两个乘积波函数的各相应单电子波函数都相同，它们的
6、标积等于1,其它情形都为零。这就是说，矩阵元的值与初末态的电子组态，即其中包括的单电子态，直接相关下面分三种情形进行讨论，从中能够引出若干大体的选择定则(为方便起见，以下的讨论中，初末态所包括的相同单电子波函数的序号都相同。)1.用和㈤是同一状态，即二者相应的单电子波函数都相同，4=2。这时（A,%B/n）=（A/wA,W）=（N-1）!为〈川GA〉=TV（川g（7V）A〉="777〈4（%）£（~）%（'）〉〈AwA：,%〉/V!==rN3（N）R（N）ai，（N》（Nf（）ZV!=Z〈4（7V）g（N）4（N）〉=Z〈a/
7、g&〉ii1.A〉与18〉中，对应的单电子波函数中，只有一个不同（设为巴,W与），即4=2,除，=加在这情形（AwbQ=（N-1）。％,于是（AGB）=N（Ag（N）B）=5N3（N）乳N）也（N»〈4nBfn〉=ME〈a，（N）g（N）2，（N）〉・（N—1）!后4,〃（）/V!,・1=3〃团纥）矩阵元等于初末态中不相同的那个单电子态间的单电子矩阵元2.用与田〉的单电子波函数中有一个以上不同A,”和Bm二者中至少有一个单电子波函数不同,因此它们的标积（A"B/G三。，即（AGB）=O（）选择定则：对带间光跃迁，电
8、子体系两个状态间的直接光跃迁速度正比于下面的跃迁矩阵元的平方仍区白、「（无•胪4阂"）利用上面关于矩阵元的结果，能够对带间直接光跃迁，推论出几个选择定则。L跃迁的初末电子态，和”的电子组态只差一个单电子态,不然叫三。。也就是说，对一级进程（通常也是
