高中数学第一章计数原理1分类加法计数原理和分步乘法计数原理导学案北师大版选修2_3

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1、北师大版高中数学选修2_3导学案§1分类加法计数原理和分步乘法计数原理自主整理1.分类加法计数原理完成一件事，可以有n类办法，在第一类办法中有m1种方法，在第二类办法中有m2种方法，……，在第n类办法中有mn种方法.那么，完成这件事共有N=_____________种方法.（也称加法原理）2.分步乘法计数原理完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可，做第一步有m1种方法，做第二步有m2种方法，……，做第n步有mn种方法，那么，完成这件事共有N=_____________种方法.（也称乘法原理）高手笔记1.分类：“做一件事，完成它可以有n类办法”，这是对完成这件事的所有办法的一个分

2、类.分类时,首先要根据问题的特点确定一个适合它的分类标准，然后在这个标准下进行分类；其次，分类时要注意满足两条基本原理：（1）完成这件事的任何一种方法必须属于某一类；（2）分别属于不同两类的两种方法是不同的方法.只有满足这两条基本原则，才可以保证集合形式表述的分类加法计数原理的“S=S1∪S2∪…∪Sn,Si∩Sj=”两条基本原则成立，前者保证完成这件事的方法不遗漏，后者保证不重复，即使用分类加法计数原理的“不漏不重”.2.分步：“做一件事，完成它需要分成n个步骤”，这是说完成这件事的任何一种方法，都要分成n个步骤.分步时，首先要根据问题的特点，确定一个可行的分步标准；其次，

3、步骤的设置要满足完成这件事必须并且只需连续完成这n个步骤后，这件事才算最终完成.名师解惑1.如何正确选用两个计数原理？剖析：两个原理的区别在于一个和分类有关，一个与分步有关.如果完成一件事有n类办法，这n类办法彼此之间是相互独立的，无论哪一类办法中的哪一种方法都能单独完成这件事，求完成这件事的方法种数，就用分类加法计数原理；如果完成一件事需要分成n个步骤，缺一不可，即需要依次完成所有的步骤，才能完成这件事，而完成每一个步骤各有若干种不同的方法，求完成这件事的方法种数就用分步乘法计数原理.2.在使用两个计数原理解题时，怎样才能有效防止“重复”和“遗漏”的发生？剖析：（1）画“树

4、形图”：当问题比较简单时，通过画“树形图”可以把所有的情况“不重不漏”地列举出来.（2）分类标准要统一：利用分类加法计数原理进行分类时，一定要以同一个标准进行分类.（3）依次排序法:利用分步乘法计数原理时，把数字或字母分为先后，先排前面的数字或字母，再依次排后面的数字或字母，将最后的数字或字母排完则结束.讲练互动【例1】高三·一班有学生50人，男30人，女20人；高三·二班有学生60人，男30人，女30人；高三·三班有学生55人，男35人，女20人.（1）从高三·一班或二班或三班中选一名学生任校学生会主席，有多少种不同的选法？（2）从高三·一班、二班男生中，或从高三·三班女生

5、中选一名学生任校学生会体育部长，有多少种不同的选法?分析：（1）选一名校学生会主席分三类：从高三·一班中选一名，有50种选法；从高三·二班中选一名，有60种选法；从高三·三班中选一名，有55种选法，然后利用分类加法计数原理求解.北师大版高中数学选修2_3导学案（2）选一名校学生会体育部长分三类：从高三·一班男生中选，有30种选法；从高三·二班男生中选，有30种选法；从高三·三班女生中选，有20种选法.然后再利用分类加法计数原理求解.解：（1）50+60+55=165种，即所求选法有165种.（2）30+30+20=80种,即所求选法有80种.绿色通道:（1）中的分类标准是“班

6、级”；（2）中的分类标准是班级和题目中要求的“性别”.在同一个问题中分类标准要统一.变式训练1.三边长均为整数，且最大边长为11的三角形的个数为（）A.25B.26C.36D.37解析：另两边长用x,y表示，且不妨设1≤x≤y≤11,要构成三角形，必须x+y≥12.当y取值11时，x=1,2,3，…，11，可有11个三角形；当y取值10时，x=2，3，…，10，可有9个三角形……当y取值6时，x只能取6，只有一个三角形.∴所求三角形的个数为11+9+7+5+3+1=36，故选C.答案：C【例2】用数字1，2，3可以组成多少个四位数？分析：完成这件事可分为四个步骤：第一步确定千

7、位数，第二步确定百位数，第三步确定十位数，第四步确定个位数，这四步依次完成了，这件事就完成了.所以可用分步乘法计数原理求解.解：要组成一个四位数可以分成四个步骤：第一步确定千位上的数字，从3个数字里任选一个数字，共有3种选法；第二步确定百位上的数字，依题意数字允许重复，仍有3种选法；第三步确定十位数字，同理，也有3种选法；第四步，也有3种选法.根据分步乘法计数原理得到可以组成的四位数的个数是N=3×3×3×3=34=81个.绿色通道:要确定一个四位数，从四位数各个位上的数字如何确定的角度考虑，分为四个步