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1、初中数学竞赛辅导资料第一讲 数的整除一、内容提要：如果整数A除以整数B(B≠0)所得的商A/B是整数,那么叫做A被B整除.0能被所有非零的整数整除.一些数的整除特征除数能被整除的数的特征2或5末位数能被2或5整除4或25末两位数能被4或25整除8或125末三位数能被8或125整除3或9各位上的数字和被3或9整除(如771，54324)11奇数位上的数字和与偶数位上的数和相减,其差能被11整除(如143,1859,1287,908270等)7,11,13从右向左每三位为一段,奇数段的各数和与偶数段的各
2、数和相减,其差能被7或11或13整除.(如1001，22743，17567，21281等)能被7整除的数的特征： ①抹去个位数 ②减去原个位数的2倍 ③其差能被7整除。如 1001 100－2＝98（能被7整除）又如7007 700－14＝686， 68－12＝56（能被7整除）能被11整除的数的特征： ①抹去个位数 ②减去原个位数 ③其差能被11整除如 1001 100－1＝99（能11整除）又如10285 1028－5＝1023 102－3＝99（能11整除）
3、 第二讲倍数 约数第16页（共16页）一、内容提要1、两个整数A和B（B≠0），如果B能整除A（记作B｜A），那么A叫做B的倍数，B叫做A的约数。例如3｜15，15是3的倍数，3是15的约数。2、因为0除以非0的任何数都得0，所以0被非0整数整除。0是任何非0整数的倍数，非0整数都是0的约数。如0是7的倍数，7是0的约数。3、整数A（A≠0）的倍数有无数多个，并且以互为相反数成对出现，0，±A，±2A，……都是A的倍数，例如5的倍数有±5，±10，……。4、整数A（A≠0）的约数是有限个的，并且也是
4、以互为相反数成对出现的，其中必包括±1和±A。例如6的约数是±1，±2，±3，±6。5、通常我们在正整数集合里研究公倍数和公约数，几正整数有最小的公倍数和最犬的公约数。6、公约数只有1的两个正整数叫做互质数（例如15与28互质）。7、在有余数的除法中，被除数＝除数×商数＋余数。若用字母表示可记作：A＝BQ＋R，当A，B，Q，R都是整数且B≠0时，A－R能被B整除。例如23＝3×7＋2，则23－2能被3整除。 第三讲 质数 合数一、内容提要1、正整数的一种分类： 质数的定义：如果一个大于1的
5、正整数，只能被1和它本身整除，那么这个正整数叫做质数（质数也称素数）。 合数的定义：一个正整数除了能被1和本身整除外，还能被其他的正整数整除，这样的正整数叫做合数。2、根椐质数定义可知①质数只有1和本身两个正约数。第16页（共16页）①质数中只有一个偶数2。如果两个质数的和或差是奇数，那么其中必有一个是2； 如果两个质数的积是偶数，那么其中也必有一个是2。 3、任何合数都可以分解为几个质数的积。能写成几个质数的积的正整数就是合数。第四讲零的特性一、内容提要（一）零既不是正数也不是负数，是介于正数和负
6、数之间的唯一中性数。 零是自然数，是整数，是偶数。1、零是表示具有相反意义的量的基准数。例如：海拔0米的地方表示它与基准的海平面一样高收支平衡可记作结存0元。2、零是判定正、负数的界限。若a＞0则a是正数，反过来也成立，若a是正数，则a＞0记作 a＞0a是正数 读作a＞0等价于a是正数 b<0b是负数 c≥0c是非负数（即c不是负数，而是正数或0） d0d是非正数(即d不是正数，而是负数或0) e0e不是0（即e不是0，而是负数或正数）3、在一切非负数中有一个最小值是0
7、。例如 绝对值、平方数都是非负数，它们的最小值都是0。记作：
8、a
9、≥0，当a=0时，｜a｜的值最小，是0，a2≥0，a2有最小值0（当a=0时）。4、在一切非正数中有一个最大值是0。第16页（共16页）例如 －
10、
11、≤0，当＝0时，－
12、
13、值最大，是0（∵≠0时都是负数）。 0，当＝2时，的值最大，是0。（二）零具有独特的运算性质1、乘方：零的正整数次幂都是零。2、除法：零除以任何不等于零的数都得零；零不能作除数。从而推出，0没有倒数，分数的分母不能是0。3、乘法：零乘以任何数都得零。即a×0＝0，反
14、过来，如果ab=0,那么a、b中至少有一个是0。要使等式xy=0成立,必须且只需x=0或y=0。4、加法：互为相反数的两个数相加得零。反过来也成立。 即a、b互为相反数a+b=05、减法：两个数a和b的大小关系可以用它们的差的正负来判定，若a-b=0,则a=b；若a-b＞0,则a＞b；若a-b＜0,则a＜b。反过来也成立，当a=b时，a-b=0；当a>b时,a-b>0；当a
