考研数学典型例题解读(1)

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1、解读教材典型例题，打通数学任督二脉考研数学典型例题解读如何利用教材进行有效的复习，是大部分同学面临的主要问题。考研数学主要是对同学们“三基”的考查，因此复习数学的时候要抓住教材，好好利用教材。怎样才能更有效地利用教材进行复习，下面就如何来复习教材中的典型例题进行解读。本文主要的目的：教会如何更有效地读懂例题、利用例题及模仿例题；学习如何来复习理解数学及解题方法。注：本文以同济五版《高等数学》为蓝本。一、求极限α()xα()x【求分式极限lim整体思路】共分为三种情况：（令I=lim）β()xβ()xlim()αx（1）若lim()βx≠0，则有I=；li

2、m()βx（2）若lim()βx=0，lim()αx≠0，则有I=∞；0（3）若lim()βx=0，lim()αx=0，则属于型未定式，则可用罗比达法则、等价无穷0小代换等进行求解。求解分式极限时，首先要快速判断属于（1）（2）（3）哪种情况，对号入座，然后决定解决问题的方法及方式。123(1+−x)1例1（P58例5）求limx→0cosx−11231212解：当x→0时，(1+−x)1～x，cosx−1～−x，所以3211223x(1+−x)132lim==lim−xx→→00cosx−1123−x2【解读】当x→0时，【注释1：说等价无穷小时，一定

3、要标明是在哪种极限形式下的等价无穷小，这是因为等价无穷小是用极限来定义的；此处说的是“当x→0时”。】12312(1+−x)1～x，3【注释2：看到此式，首先要想到要求必须记住的一个常用的等价无穷小代换公式1n111+−x～xx(0→)和11+−x～xx(0→)（此处也可以写成11+−I～2n1n1II(0→)和11+I−～II(0→)），由此套用公式立即可以得到2n1－10解读教材典型例题，打通数学任督二脉12312(1+−x)1～x。】312cosx−1～−x，2【注释3：看到此式，首先要想到要求必须记住的一个常用的等价无穷小代换公式12121cos

4、−x～xx(0→)（此处也可以写成1cos−I～II(0→)），由此套用公式立2212即可以得到cosx−1～−x。】2所以11223x(1+−x)132lim==lim−xx→→00cosx−1123−x2【注释4：此题完全用等价无穷小代换解决。当然也可以用Taylor公式进行求解，不过过程0比较麻烦一些。此题为型未定式，若用罗比达法则会相当麻烦，不过大家可以尝试一下。】0【注释5：做完此题后，要掌握注释中的三个等价无穷小代换公式，做到熟练应用，最好能达到条件反射。】3例2（P68例8）求lim(12)+xsinxx→0解:因为131xx⋅⋅66l⋅⋅

5、+n(12x)2x(12)+=xxesinxx(12)+2sinx=sinx利用定理3及极限的运算法则，便有⎡⎤1x3lim6⎢⎥⋅⋅+ln(12)x2xsinx→0⎢⎥sinx6lim(12)+=xxee⎣⎦=x→0131xx⋅⋅66l⋅⋅+n(12x)2x【解读】因为(12)+=xxesinxx(12)+2sinx=sinx【注释1：上式的第一步是要凑出来重要极限，因此要对第二个重要极限的形式非常熟悉才I11⎛⎞行。第二个重要极限如下：lim1()+II=e和lim1⎜⎟+=e。之所以写成这样的形式，I→0I→∞⎝⎠I是让大家能明白，只要我们能凑成这

6、两种标准形式之一就可以用这个公式，不用管□里是什么。最后一步应用的是换底公式，见注释4】利用定理3及极限的运算法则，便有x【注释2：定理3表明当外函数连续时，极限号可以和外函数调换位置，这里的e是外函数。】⎡⎤1x3lim6⎢⎥⋅⋅+ln(12)x2xsinx→0⎢⎥sinx6lim(12)+=xxee⎣⎦=x→02－10解读教材典型例题，打通数学任督二脉【注释3：极限的运算法则指的是两个乘积函数的极限都存在时可以写成两个函数极限的乘11xx积。即lim6⋅⋅+=ln(12)xx22xx6lim⋅+=limln(12)6116⋅⋅=】xx→→00sinx

7、xsinx→0【注释4：此题总的解题思路是：这是求幂指函数的极限，存在两种情况：一是用第二个重要极限，二是用换底公式。我们要熟练掌握这两种情况，特别是第二种情况，它的适用范围更广。】vx()【注释5：换底公式主要是针对类似于ux()(()0,()ux>ux不恒等于1)的幂指函数。对vx()lim()ln()vxux于这类函数可以采用以下方式进行求解：lim()ux=e即转化成求lim()ln()vxux的极限。】tanx−x例3（P136例10）求lim2x→0xsinxtanx−−xxtanxxxtan−x解：lim=⋅lim=lim233xx→→00

8、xxsinxsinxx→0x22secxx−12sectanx1tanx1==l