江苏省徐州市2020届高三春季联考数学试题

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2020届高三春季联考数学Ⅰ注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷共4页，包含填空题（第1题～第14题）、解答题（第15题～第20题）两部分。本卷满分为160分，考试时间为120分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。3．作答试题必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡的指定位置作答，在其它位置作答一律无效。如需作图，须用2B铅笔绘图、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．．.1.设全集UR，集合A{1,0,1,2,3}，B{|xx2}，则ACB=▲．Ui2．复数的虚部是▲．1i3.某校为了解高三同学暑假期间学习情况，抽查了100名同学，统计他们每天平均学习时间,绘成频率分布直方图（如图），则这100名同学中学习时间在6～8小时内的人数为▲．4.如图是一个算法的流程图，若输入的x的值为1，则输出的S的值为▲．频率/组距x0.140.120.050.0424681012小时（第3题图）（第4题图）5.某校有AB,两个学生食堂，若abc,,三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐，则三人不在同一个食堂用餐的概率为▲．3

16.已知正四棱锥的底面边长是42，侧棱长为5，则该正四棱锥的体积为▲．7.若将函数fx()sin(2x)的图象沿x轴向右平移(＞0)个单位后所得的图象关于y轴对称，则3的最小值为▲．8.已知{}a为等差数列，其公差为2，且a是a与a的等比中项，S为n739n{}a前n项和，则S的值为▲．n1022xy229.若双曲线1的一条渐近线与圆C(:x)1y1相交于AB,两点且22abACB90,则此双曲线的离心率为▲．2x3x410.函数y的定义域为▲．ln(x)111.已知xy,R，且x1，若(x1)(y2)1，则xy6xy6的最小值为▲．1112.在ABC中，若BAC120,BA2,BC3，BMBCBA,32则MAMC▲．13.已知圆O：x2y24，直线l与圆O交于P、Q两点，A(2，2)，若AP2＋AQ2＝40，则弦PQ的长度的最大值为▲．322x3xa,2xa14.函数fx()满足fx()fx(4)，当x[﹣2，2)时，fx()，若函数fx()1xax,2在[0，2020)上有1515个零点，则实数a的取值范围是▲．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演．．．．．．．算步骤．15.(本小题满分14分)已知向量m(cos,sin),xxn(3sin,sin)xx，函数fx()mn.（1）求函数fx()的最小正周期.13（2）若（0，）,()f，求sin的值.22104

216．(本小题满分14分)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACBC，M是棱CC1上的一点．（1）求证：BCAM；AA1（2）若M,N分别是CC,AB的中点，1NM求证：CN//平面AMB.1CC1BB1（第16题图）17.(本小题满分14分)如图，某居民区内有一直角梯形区域ABCD，ABCD，ABBC，AB6百米，CD4百米.该区域内原有道路AC，现新修一条直道DP（宽度忽略不计），点P在道路AC上（异于AC,两点），BAC，6DPA.（1）用表示直道DP的长度；（2）计划在△ADP区域内修建健身广场，在△CDP区域内种植花草．已知修建健身广场的成本为每平方百米4万元，种植花草的成本为每平方百米2万元，新建道路DP的成本为每百米4万元，求以上三项费用总和的最小值（单位：万元）．DCPAB（第17题图）5

318.(本小题满分16分)22xy3在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C:1ab0过点0,1，椭圆C的离心率为e.22ab2（1）求椭圆C的标准方程；222（2）如图，设直线l与圆xyr1r2相切与点A，与椭圆C相切于点B，当r为何值时，线段AB长度最大？并求出最大值.（第18题图）19.(本小题满分16分)已知函数fx()xlnxa和函数gx()lnxax.（1）若曲线fx()在x1处的切线过点A(2,2)，求实数a的值；2（2）求函数hx()gx()x的单调区间；（3）若不等式fx()gx()0对于任意的x1恒成立,求实数a的最大值.6

420.(本小题满分16分)已知等差数列a和等比数列b的各项均为整数，它们的前n项和分别为S，T，且b2a2，nnnn11bS54，aT11．2322（1）求数列a，b的通项公式；nn（2）求Mabababab；n112233nnSTmm1（3）是否存在正整数m，使得恰好是数列a或b中的项？若存在，求出所有满足条件的mnnSTmm的值；若不存在，说明理由．7

52020届高三春季联考数学Ⅱ(附加题)注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：1．本试卷共2页，均为非选择题（第21题～第23题）。本卷满分为40分。考试时间为30分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。3．作答试题必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡的指定位置作答，在其它位置作答一律无效。如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。21.【选做题】本题包括A，B，C三小题，请选定其中两题，并在答题卡相应的区域内作答。若多做，则按作答的前两题评分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A.【选修42：矩阵与变换】（本小题满分10分）a11已知二阶矩阵M的特征值1所对应的一个特征向量e．13b3（1）求矩阵M；（2）设曲线C在变换矩阵M作用下得到的曲线C'的方程为xy1，求曲线C的方程．B.【选修44：坐标系与参数方程】（本小题满分10分）已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合．若直线l的极坐标方程为sin32．4（1）把直线l的极坐标方程化为直角坐标方程；2x2（2）已知P为椭圆C:y1上一点，求P到直线l的距离的最小值．38

6C．【选修4-5：不等式选讲】（本小题满分10分）222已知实数x，y，z满足x+y+z=2，求2x3yz的最小值．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22.（本小题满分10分）2已知Axy(,),(,Bxy)是抛物线Cx:2pyp(0)上不同两点．1122(1)若抛物线C的焦点为F，Dxy(,00)为AB的中点，且AFBF42y0,求抛物线C的方程；2p(2)若直线AB与x轴交于点P，与y轴的正半轴交于点Q，且yy，124113是否存在直线AB，使得？若存在，求出直线AB的方程；若不存在，请说明理由．PAPBPQ9

723.（本小题满分10分）已知数集A{a,a,,a}，其中0aaa，且n3，若对i,j12n12n（1ijn），ajai与ajai两数中至少有一个属于A，则称数集A具有性质P．（1）分别判断数集}3,1,0{与数集}6,4,2,0{是否具有性质P，说明理由；（2）已知数集Aa,a,,a具有性质P，判断数列a,a,,a是否为等差数128128列，若是等差数列，请证明；若不是，请说明理由．10

82020届春季联考数学Ⅰ参考答案一、填空题：1351.1,0,12.3.304.735.6.327.2412638.1109.210.1,00,111.2512.2113.2214.,02二、解答题：215.（1）fx3sinxcosxsinx……………2分31cosx1sin2xsin(2x)……………4分2262fx的最小正周期为…………6分1134（2）fsin()sin()……………8分26210650……………10分26632243cos()1sin()1……………12分6655sinsinsincoscossin6666664331433……………14分52521016.(1)在直三棱柱ABCA1B1C1中，CC1平面ABC,BC平面ABCCC1BC……………2分又BCAC，ACCC1C，AC平面ACC1A1，CC1平面ACC1A1BC平面ACC1A1……………4分又AM平面ACC1A1BCAM……………6分（2）取AB1的中点为Q，连接NQ，QM1在ABB1中，N、Q分别为AB、AB1中点NQ//AB1且NQAB1……………8分2在直三棱柱ABCA1B1C1中，11

91BB1//CC1且BB1CC1，M为CC1的中点CM//BB1且CMBB1………………10分2NQ//MC且NQMC四边形NCMQ为平行四边形NC//QM………………12分又NC平面AMB1,QM平面AMB1CN//平面AMB1……………14分DC17.（1）过点D作DD垂直于线段AB，垂足为D．PADBπ在直角△ABC中，因为AB⊥BC，∠BAC，AB6，所以BC23．63在直角△ADD中，因为AD2，DD'23，所以AD4，则sinDAD，2π故∠DAD，………………………2分3ππ又∠BAC，所以∠DAP．66ADDP在△ADP中，由正弦定理得=，sinπsin62π5π所以DP，．………………………4分sin66APAD（2）在△ADP中，由正弦定理得，sinADPsin5π4sin4sinADP6所以AP．sinsin5π5π4sin4sin11626所以SAPPDsinsin．………6分VAPD22sinsinsin112π又SADDCsinADC44sin43．VADC2235π4sin6所以SSS43．……………………8分VDPCVADCVAPDsin设三项费用总和为f()，5π5π4sin()4sin()662则f()4(43)24sinsinsin2cosπ5π1234()，，………10分sin661cos所以f()8(2)，令f()0，则2π．23sin12

10列表：π2π2π2π5π，，63336f()0f()]23Z2π所以时，f()163．………12分3min答：以上三项费用总和的最小值为163万元．………………………14分2x218.解：（1）椭圆方程为y1……………4分4222（2）设直线l的方程为ykxm，因为直线l与圆C：xyR(1R2)相切于A，|m|222所以R，即mR(1k)①，……………6分21k2x2因为l与椭圆E∶y1相切于点B，4ykxm22由x2得x4(kxm)4，2y14222即(14kx)8kmx4m40有两个相等的实数解，222222则⊿64km16(14)(km1)16(4km1)0，22即4km10，②……………8分223Rm24R由①、②可得，……………10分22R1k4R28km4km4k设Bxy(,11)，由求根公式得x122，2(14k)mm224k4km1∴ykxmk()m，11mmm222216k14∴|OB|xy5，……………12分1122mR∴在直角三角形OAB中，2224242|AB||OB||OA|5R5(R)，……………14分22RR13

11422因为R≥4，当且仅当R2(1,2)时取等号，所以|AB|≤541，2R即当R2(1,2)时，|AB|取得最大值，最大值为1．……………16分''19.解（1）fx()lnx1f()11又f()1a曲线fx()在x1处的切线方程为yax1切线过点（，）A22-2a21a3……………3分2（2）hx()lnxaxx的定义域为，0+2'2xax122hx()0则xax10令a8x2()当a80即22a22时'hx()0函数hx()的单调增区间为：，0+………………5分2()当a80即a22或a22时，222aa8aa82xax10有两个不等的实数根x,x1244'当a22时，x0,x0,hx()0，12函数hx()单调增区间为，0+……………7分当a22时，x0,x0,12'令hx()0，则0xx或xx12'令hx()0，则xxx12aa28aa28h()x单调递增区间为（0，），，+4422aa8aa8hx()单调递减区间为（,）………9分44（3）令Fxfxgxxlnxlnxaxa，'1则Fxlnx1ax1'11x1'记xlnx1a，则x0，所以Fx在1，上单调递增，22xxxx''故FxF12a'当a2，Fx0，故Fx在1，上单调递增，14

12所以FxF10，符合题意.…………………11分'1'a'当a2时，Fx10，故FeF10，……………………13分ae''又Fx在1，上单调递增，所以存在唯一的实数x0,1，使得Fx00，列表如下：则当x,1x时，FxF10，这与Fx0恒成立矛盾.…………………15分0综上，实数a的最大值为2.（16分）……………………16分20.解：（1）设数列a的公差为d，数列b的公比为q.nn因为b2a,2bS54,aT11，11232232q33d54,q1d,9q3q所以即解得或2（舍去），……………2分1d22q11,d2q,8d2d5n1所以a2n,1b23……………4分nn2n1（2）Mna1b1a2b2a3b3anbn123235232n1232n1n3M1233232n3232n123n2n1nn所以2Mn243332n12344n43……………6分n所以Mn2n132……………8分2n(3)由（1）可得Snn,Tn312m1STm13mm1所以……………10分2mSTm13mm2m1SmTm1m13因为是数列a或b中的一项，所以L,LNnn2mSmTmm132m2m所以L1m13L3，因为m13,00所以1m,3又LN,则L2或L3……………12分15

13222mm1m1当L2时，有m13,即,1令fm,mm33222m11m12m2m3则fm1fmm1mm1333当m1时，f1f2;当m2时，fm1fm,0即f1f2f3f421m1由f1,0f2,知1无整数解.……………14分m332m12m13当L3时，有m10，即存在m1使得3，是数列a中的第2项，2mnm13STmm1故存在正整数m1，使得是数列a中的项.……………16分nSTmm16

142020届春季联考数学Ⅱ（选修）参考答案【选做题】在A，B，C四小题中只能选做两题，每小题10分，共20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．a111a31a221A解：（1）由-1得，即………3分3b3-3-33b3b021M…………5分30（2）设曲线C上一点P(x,y)在矩阵M的作用下的到点P('x,'y)'，则点P'在曲线C'上。21xx'x'2xy即…………8分30yy'y'3x又x'y'12(xy)3x12整理得曲线C的方程为6x3xy1…………10分2221B.解：（1）直线l的极坐标方程sin32，则sincos32，422即sincos6，………2分所以直线l的直角坐标方程为xy60；…………4分2x2（2）P为椭圆C:y1上一点，设P(3cos,sin)，其中02,，3|2cos()6||3cossin6|6则P到直线l的距离d，………8分22∴当cos()1时，d的最小值为22．…………10分621C．证明：由柯西不等式可知11212122222(2x3y1)z[()()1](2x3yz)………4分23232222(xyz)242x3yz所以1111，………8分1236412当且仅当x,y,z时取等号．………10分11111117

15【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22.解：（1）由抛物线的定义得AFBFy1y2p2yp42yp4…………2分002所求抛物线方程为x8.y…………4分（2）由题意得AB的斜率存在设ABy:kxmk(0,m0)ykxm2x2pkx2pm0xx2pkxx2pm21212x2py22pp2yymmyy2pk2m…………6分121242作AA′⊥x轴，BB′⊥x轴，垂足为A′，B′，113PQPQOQOQ33.......6分''PAPBPQPAPBAABBp221m2pk22m2pkpkmmmy(y)22………8分123221yyyypp12124442111pkk存在直线AB：y=x符合题意…………10分422223.解：（Ⅰ）由于31和31都不属于集合01,,3，所以该集合不具有性质P；…………2分由于20、40、60、42、62、64、00、22、44、66都属于集合0,2,4,6，所以该数集具有性质P………………………4分（Ⅱ）A{a,a,,a}具有性质P，所以aa与aa中至少有一个属于A，1288888由0aaa，有aaa，故aaA，0aaA，故a0．128888888810aaa，aaa，故aaA(k,3,2)8,．1288k88k由A具有性质P知，aaA(k,3,2)8,，又aaaaaaaa，8k8887828118

16aaa,aaa,,aaa,aaa，即aaa(i,2,1)8,881872827818i9i8①………………6分由aaa知，aa，aa，…，，aa均不属于A，278374777由A具有性质P，aa，aa，…，，a-a均属于A，737477aaaaaaaaaa，而aa6，777674738383aa0，aaa，aaa，…，aaa即aaa(i1,2,,7)77762753735i8i7②…………8分由①②可知aaaa(aa)(i1,2,,8)，i89i87i1即aaaa（i,3,28,）．ii187故a,a,,a构成等差数列…………………………10分12819