2018年高考数学二轮复习专题四数列推理与证明第1讲等差数列与等比数列专题突破讲义

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1、2018年高考数学二轮复习指导第1讲 等差数列与等比数列1.等差、等比数列基本量和性质的考查是高考热点,经常以小题形式出现.2.数列求和及数列与函数、不等式的综合问题是高考考查的重点,考查分析问题、解决问题的综合能力.热点一 等差数列、等比数列的运算1.通项公式等差数列:an=a1+(n-1)d;等比数列:an=a1·qn-1.2.求和公式等差数列:Sn==na1+d;等比数列:Sn==(q≠1).3.性质若m+n=p+q,在等差数列中am+an=ap+aq;在等比数列中am·an=ap·aq.

2、例1 (1)(2017届江西师大附中、临川一中联考)已知数列,满足bn=log2an,n∈N*,其中是等差数列,且a9a2009=4,则b1+b2+b3+…+b2017等于(  )A.2016B.2017C.log22017D.答案 B解析 由题设可得log2a9+log2a2009=2,即b9+b2009=2,由等差数列的通项的性质,可得b9+b2009=b1+b2017=2,所以b1+b2+b3+…+b2017==2017,2018年高考数学二轮复习指导故选B.(2)(2017届四川省成都市

3、诊断性检测)在等比数列{an}中,已知a3=6,a3+a5+a7=78,则a5等于(  )A.12B.18C.24D.36答案 B解析 由于a3+a5+a7=a3+a3q2+a3q4=6(q4+q2+1)=78,得q4+q2-12=0,得q2=3或q2=-4(舍去),则a5=a3q2=6×3=18,故选B.思维升华 在进行等差(比)数列项与和的运算时,若条件和结论间的联系不明显,则均可化成关于a1和d(q)的方程组求解,但要注意消元法及整体计算,以减少计算量.跟踪演练1 (1)(2017·河北省

4、曲周县第一中学模拟)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S4=-4,S6=6,则S5等于(  )A.0B.-2C.4D.1答案 A解析 由题设可得⇒则S5=-4×5+×2=0,故选A.(2)(2017届长沙一模)等比数列的公比为-,则ln2-ln2=________.答案 ln2解析 ln2-ln2=ln2=lnq2=ln2.热点二 等差数列、等比数列的判定与证明数列{an}是等差数列或等比数列的证明方法(1)证明数列{an}是等差数列的两种基本方法:①利用定义,证明an+1-an(n∈N*)

5、为一常数;②利用等差中项,即证明2an=an-1+an+1(n≥2).(2)证明{an}是等比数列的两种基本方法①利用定义,证明(n∈N*)为一常数;②利用等比中项,即证明a=an-1an+1(n≥2).例2 (2017届东北三省三校联考)已知数列{an}满足a1=3,an+1=2an-n+1,数列{bn}满足b1=2,bn+1=bn+an-n.2018年高考数学二轮复习指导(1)证明:{an-n}为等比数列;(2)数列{cn}满足cn=,求数列{cn}的前n项和Tn.(1)证明 ∵an+1=2

6、an-n+1,∴an+1-(n+1)=2(an-n),又a1-1=2,∴{an-n}是以2为首项,2为公比的等比数列.(2)解 由(1)知an-n=(a1-1)·2n-1=2n,∵bn+1=bn+an-n,∴bn+1-bn=2n,累加得到bn=2+=2n(n≥2).当n=1时,b1=2,∴bn=2n,∴cn===-.∴Tn=-.思维升华 (1)判断一个数列是等差(比)数列,也可以利用通项公式及前n项和公式,但不能作为证明方法.(2)=q和a=an-1an+1(n≥2)都是数列{an}为等比数列的

7、必要不充分条件,判断时还要看各项是否为零.2018年高考数学二轮复习指导跟踪演练2 (2017届吉林省长白山市模拟)在数列中,设f(n)=an,且f(n)满足f(n+1)-2f(n)=2n(n∈N*),且a1=1.(1)设bn=,证明:数列为等差数列;(2)求数列的前n项和Sn.(1)证明 由已知得an+1=2an+2n,得bn+1===+1=bn+1,∴bn+1-bn=1,又a1=1,∴b1=1,∴是首项为1,公差为1的等差数列.(2)解 由(1)知,bn==n,∴an=n·2n-1.∴Sn

8、=1+2·21+3·22+…+n·2n-1,两边乘以2,得2Sn=1·21+2·22+…+(n-1)·2n-1+n·2n,两式相减得-Sn=1+21+22+…+2n-1-n·2n=2n-1-n·2n=(1-n)2n-1,∴Sn=(n-1)·2n+1.热点三 等差数列、等比数列的综合问题解决等差数列、等比数列的综合问题,要从两个数列的特征入手,理清它们的关系;数列与不等式、函数、方程的交汇问题,可以结合数列的单调性、最值求解.例3 已知等差数列{an}的公差为-1,且a2+a7+a12=-6.(1

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