湖北省荆州中学2023-2024学年高三上学期10月半月考数学Word版含解析.docx

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荆州中学2024届高三十月半月考数学试卷一、单选题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求.)1.已知复数(为虚数单位),则()A.B.C.D.2.设为两条直线,为两个平面,下列四个命题中,正确的命题是()A.若,则B.若,则C.若,则D.若,则3.函数的一条对称轴为()A.B.C.D.4.等比数列的各项均为实数,其前项和为,已知,则()A.4B.16C.32D.645.由1,2,3,4,5,6组成没有重复数字的六位数,其中奇数不相邻,且2不在第二位,则这样的六位数个数为()A.120种B.108种C.96种D.72种6.已知,设,则()A.B.C.D.7.若曲线与曲线有公切线,则实数的取值范围是()A.B.C.D.8.已知为坐标原点,是椭圆上位于上方的点,为右焦点.延长交椭圆于两点,,则椭圆的离心率为()A.B.C.D.二、多选题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对得5分,部分选对得2分,有选错得0分.) 9.设随机变量,则下列说法正确的是()A.服从正态分布B.C.D.当且仅当时,取最大值10.如图所示,该曲线是由4个圆:的一部分所构成,则下列叙述正确的是()A.曲线围成的封闭图形面积为B.若圆与曲线有8个交点,则C.与的公切线方程为D.曲线上的点到直线的距离的最小值为411.如图,正方体棱长为1,是上的一个动点,下列结论中正确的是()A.的最小值为B.当在上运动时,都有C.当在直线上运动时,三棱锥的体积不变D.的最小值为12.已知双曲线的一条渐近线方程为,圆上任意一点 处的切线交双曲线于两点,则()A.B.满足的直线仅有2条C.满足的直线仅有4条D.为定值2三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分.)13.设为两个不共线向量,若向量与共线,则实数__________.14.以模型去拟合一组数据时,为了求出回归方程,设,其变换后得到线性回归方程,则__________.15.设,函数若函数恰有3个零点,则实数的取值范围为__________.16.设函数的定义域为,对于任意的,当,有,若,则不等式的解集为__________.四、解答题(本小题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.(10分)已知函数.(1)求的值;(2)在中,若,求的最大值.18.(12分)如图,三棱柱的所有棱长都是2,平面分别是的中点.(1)求证:平面⊥平面;(2)求和平面所成角的正弦值.19.(12分)如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中,后人称为“三角垛”.“ 三角垛的最上层有1个球,第二层有3个球,第三层有6个球……设各层球数构成一个数列.(1)写出与的递推关系,并求数列的通项公式;(2)记数列的前项和为,且,在与之间插入个数,若这个数恰能组成一个公差为的等差数列,求数列的前项和.20.(12分)已知函数.(1)若,求的极值;(2)若对任意恒成立,求整数的最小值.21.(12分)某中学举办了诗词大会选拔赛,共有两轮比赛,第一轮是诗词接龙,第二轮是飞花令.第一轮给每位选手提供5个诗词接龙的题目,选手从中抽取2个题目,主持人说出诗词的上句,若选手在10秒内正确回答出下句可得10分,若不能在10秒内正确回答出下句得0分.(1)已知某位选手会5个诗词接龙题目中的3个,求该选手在第一轮得分的数学期望;(2)已知恰有甲、乙、丙、丁四个团队参加飞花令环节的比赛,每一次由四个团队中的一个回答问题,无论答题对错,该团队回答后由其他团队抢答下一问题,且其他团队有相同的机会抢答下一问题.记第次回答的是甲的概率为,若.①求;②正明:数列为等比数列,并比较第7次回答的是甲和第8次回答的是甲的可能性的大小.22.(12分)已知抛物线,过点作斜率互为相反数的直线,分别交抛物线于及两点.(1)若,求直线的方程;(2)求证:. 荆州中学2024届高三数学十月半月考参考答案1-4.CDAD5-8.BCAB9.BC10.ACD11.ABC12.AD13.2.514.15.16.17.(1)1(2)【详解】(1),5分(2)由题意可知,,而可得:,即,,,的最大值为10分18.(1)证明见解析(2)【详解】(1)取的中点,连接,则,又因为平面,所以平面,则两两垂直,2分 如图,以为原点,所在直线分别为轴,轴,轴,建立空间直角坐标系,则,可得,设分别为平面和平面的法向量,由,令,则,可得是平面的一个法向量,4分由,令,则,可得是平面的一个法向量,6分因为,即,所以平面平面.7分(2)由(1)可得:是平面的一个法向量,设和平面所成角为,则,所以和平面所成角的正弦值为.12分19.(1)(2)【详解】(1)由题意可知,, ,所以数列的一个递推关系为,2分所以当时,利用累加法可得,将代入得,符合,5分所以数列的通项公式为.6分(2)当时,,即,当时,,①,②,得,即,8分所以数列是以3为首项,3为公比等比数列,所以,由题意可知,所以,所以,9分所以,③,④得,11分所以,所以数列的前项和.12分 20.(1)极大值为,无极小值(2)1【详解】(1)当时,,. 当时,,则在上单调递增;当时,,则在上单调递减.所以在时取得极大值且极大值为,无极小值;5分(2)因为对任意恒成立,所以在上恒成立,即在上恒成立,设,则.设,显然在上单调递减,因为,所以,使得,即,8分当时,;当时,,所以在上单调递增,在上单调递减,所以,10分因为,所以, 故整数的最小值为1.12分21.(1)设该选手答对的题目个数为,该选手在第一轮的得分为,则,易知的所有可能取值为0,1,2,则,故的分布列为012则,所以.4分(2)①由题意可知,第一次是甲回答,第二次甲不回答,,则.②由第次回答的是甲的概率为,得当时,第次回答的是甲的概率为,第次回答的不是甲的概率为,则.即,又是以为首项,为公比的等比数列,则,∴第7次回答的是甲的可能性比第8次回答的是甲的可能性大.12分22.(1)(2)证明见解析【详解】(1)设,.又,即,又或,当时,;当时,,此时直线的斜率不存在,舍去,,∴直线的方程为:.4分(2)设直线,则直线, 设,由,即,则,所以,又,,同理可证:,,

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