2.3.1 等比数列 学案(人教b版必修5)

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1、§2.3 等比数列2.3.1 等比数列自主学习知识梳理1.如果一个数列从第________项起,每一项与它的前一项的________都等于同一个常数,那么这个数列叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的________,通常用字母q表示(q≠0).2.等比数列的通项公式:____________.3.等比中项的定义如果x、G、y成等比数列,那么G叫做x与y的____________,且G2=________.4.对于正整数m,n,p,q,若m+n=p+q,则等比数列中am,an,ap,aq的关系是________________.5.证明一个数列是等比数列最基本

2、的方法是定义,即____________________(用数学式子表示).自主探究首项为a1,公比为q的等比数列在各条件下的单调性如下表:a1a1>0a1<0q范围0101{an}的单调性对点讲练知识点一 等比数列通项公式的应用例1 已知{an}为等比数列,a3=2,a2+a4=,求{an}的通项公式.总结 等比数列的通项公式an=a1qn-1中有四个量a1,q,n,an.已知其中三个量可求得第四个,简称“知三求一”.变式训练1 已知等比数列{an},若a1+a2+a3=7,a1a2a3=8,求an.知识点二 等比数列性

3、质的应用例2 已知{an}为等比数列.(1)若an>0,a2a4+2a3a5+a4a6=25,求a3+a5;(2)若an>0,a5a6=9,求log3a1+log3a2+…+log3a10的值.总结 在等比数列{an}中,若m+n=p+q,则aman=apaq,利用这一性质可以化繁为简.变式训练2 设{an}是由正数组成的等比数列,公比q=2,且a1·a2·a3·…·a30=215,求a2·a5·a8·…·a29的值.知识点三 等比数列的判断与证明例3 已知数列{an}的前n项和为Sn,Sn=(an-1)(n∈N*).(1)求a1,a2;(2)求证:数列{a

4、n}是等比数列.总结 利用等比数列的定义=q(q≠0)是判定一个数列是否是等比数列的基本方法.变式训练3 设Sn为数列{an}前n项和,Sn=kn2+n,n∈N*,其中k是常数.(1)求a1及an;(2)若对于任意的m∈N*,am,a2m,a4m成等比数列,求k的值.1.等比数列的判断或证明(1)利用定义:=q(与n无关的常数).(2)利用等比中项:a=anan+2(n∈N*).2.如果证明数列不是等比数列,可以通过具有三个连续项不成等比数列来证明,即存在an0,an0+1,an0+2,使a2n0+1≠an0·an0+2,也可以用反证法.3.等比数列{an}

5、的通项公式an=a1qn-1共涉及an,a1,q,n四个量,已知其中三个量可求得第四个.课时作业一、选择题1.如果-1,a,b,c,-9成等比数列,那么(  )A.b=3,ac=9B.b=-3,ac=9C.b=3,ac=-9D.b=-3,ac=-92.在等比数列{an}中,an>0,且a2=1-a1,a4=9-a3,则a4+a5的值为(  )A.16B.27C.36D.813.在由正数组成的等比数列{an}中,若a4a5a6=3,log3a1+log3a2+log3a8+log3a9的值为(  )A.B.C.2D.34.一个数分别加上20,50,100后得到

6、的三数成等比数列,其公比为(  )A.B.C.D.5.已知数列{an}是公差为2的等差数列,且a1,a2,a5成等比数列,则a2为(  )A.-2B.-3C.2D.3二、填空题6.在等比数列{an}中,a1=1,a5=16,则a3=________.7.首项为3的等比数列的第n项是48,第2n-3项是192,则n=________.8.一个直角三角形的三边成等比数列,则较小锐角的正弦值是________.三、解答题9.等比数列的前三项和为168,a2-a5=42,求a5,a7的等比中项.2.3.1 等比数列知识梳理1.2 比 公比2.an=a1qn-13.等

7、比中项 xy4.am·an=ap·aq5.=q,(n∈N*)自主探究递减 常数列 递增 递增 常数列 递减对点讲练例1 解 设等比数列{an}的公比为q,则q≠0.a2==,a4=a3q=2q,∴+2q=.解得q1=,q2=3.当q=时,a1=18,∴an=18×n-1=2×33-n.当q=3时,a1=,∴an=×3n-1=2×3n-3.综上,当q=时,an=2×33-n;当q=3时,an=2×3n-3.变式训练1 解 由等比数列的定义知a2=a1q,a3=a1q2代入已知得,⇒⇒将a1=代入①得2q2-5q+2=0,解得q=2或q=.由②得或当a1=1,q

8、=2时,an=2n-1;当a1=4,q=时,an=2

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