高中数学苏教版选修2-1第1章《常用逻辑用语》（3.1）word学案

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1、www.ks5u.com1．3　全称量词与存在量词1．3.1　量　词[学习目标]　1.通过生活和数学中的丰富实例理解全称量词与存在量词的含义，熟悉常见的全称量词和存在量词.2.了解含有量词的全称命题和存在性命题的含义，并能用数学符号表示含有量词的命题及判断其命题的真假性．[知识链接]下列语句是命题吗？(1)与(3)，(2)与(4)之间有什么关系？(1)x>3；(2)2x＋1是整数；(3)对所有的x∈R，x>3；(4)对任意一个x∈Z,2x＋1是整数．答：语句(1)(2)含有变量x，由于不知道变量x代表什么数，无法判断它们的真假，因而不是命题．语句(3)在(1)的基础上，用短语“对所有

2、的”对变量x进行限定；语句(4)在(2)的基础上，用短语“对任意一个”对变量x进行限定，从而使(3)(4)成为可以判断真假的语句，因此语句(3)(4)是命题．[预习导引]1．全称量词和全称命题(1)全称量词：短语“所有”“每一个”“任意”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示．(2)全称命题：含有全称量词的命题叫做全称命题．全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为∀x∈M，p(x)，读作“对任意x属于M，有p(x)成立”．2．存在量词和存在性命题(1)存在量词：短语“存在一个”“有一个”“有些”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示．(2)存在性命题：含

3、有存在量词的命题叫做存在性命题．存在性命题“存在M中的一个x0，使p(x0)成立”可用符号简记为∃x0∈M，p(x0)，读作“存在M中的一个元素x0，使p(x0)成立”.要点一　全称量词与全称命题例1　试判断下列全称命题的真假：(1)∀x∈R，x2＋2>0；(2)∀x∈N，x4≥1；(3)对任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1.解　(1)由于∀x∈R，都有x2≥0，因而有x2＋2≥2>0，即x2＋2>0，所以命题“∀x∈R，x2＋2>0”是真命题．(2)由于0∈N，当x＝0时，x4≥1不成立，所以命题“∀x∈N，x4≥1”是假命题．(3)由于∀α∈R，sin2α＋cos2α＝1成

4、立．所以命题“对任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1”是真命题．规律方法　判断全称命题为真时，要看命题是否对给定集合中的所有元素成立．判断全称命题为假时，可以用反例进行否定．跟踪演练1　判断下列全称命题的真假：(1)所有的素数是奇数；(2)∀x∈R，x2＋1≥1；(3)对每一个无理数x，x2也是无理数．解　(1)2是素数，但2不是奇数．所以，全称命题“所有的素数是奇数”是假命题．(2)∀x∈R，总有x2≥0，因而x2＋1≥1.所以，全称命题“∀x∈R，x2＋1≥1”是真命题．(3)是无理数，但()2＝2是有理数．所以，全称命题“对每一个无理数x，x2也是无理数”是假命题．要点二　

5、存在量词与存在性命题例2　判断下列命题的真假：(1)∃x0∈Z，x<1；(2)存在一个四边形不是平行四边形；(3)有一个实数α，使tanα无意义；(4)∃x0∈R，cosx0＝.解　(1)∵－1∈Z，且(－1)3＝－1<1，∴“∃x0∈Z，x<1”是真命题．(2)真命题，如梯形．(3)真命题，当α＝时，tanα无意义.(4)∵当x∈R时，cosx∈[－1,1]，而>1，∴不存在x0∈R，使cosx0＝，∴原命题是假命题．规律方法　存在性命题是含有存在量词的命题，判定一个存在性命题为真，只需在指定集合中找到一个元素满足命题结论即可．跟踪演练2　判断下列存在性命题的真假：(1)有一个实数

6、x0，使x＋2x0＋3＝0；(2)存在两个相交平面垂直于同一条直线；(3)有些整数只有两个正因数．解　(1)由于∀x∈R，x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2≥2，因此使x2＋2x＋3＝0的实数x不存在．所以，存在性命题“有一个实数x0，使x＋2x0＋3＝0”是假命题．(2)由于垂直于同一条直线的两个平面是互相平行的，因此不存在两个相交的平面垂直于同一条直线．所以，存在性命题“存在两个相交平面垂直于同一条直线”是假命题．(3)由于存在整数3只有两个正因数1和3，所以存在性命题“有些整数只有两个正因数”是真命题．要点三　全称命题、存在性命题的应用例3　(1)对于任意实数x，不等式sinx＋

7、cosx>m恒成立．求实数m的取值范围；(2)存在实数x，不等式sinx＋cosx>m有解，求实数m的取值范围．解　(1)令y＝sinx＋cosx，x∈R，∵y＝sinx＋cosx＝sin(x＋)≥－，又∵∀x∈R，sinx＋cosx>m恒成立，∴只要m<－即可．∴所求m的取值范围是(－∞，－)．(2)令y＝sinx＋cosx，x∈R，∵y＝sinx＋cosx＝sin(x＋)∈[－，]．又∵∃x∈R，sinx＋cosx>m有解，∴只要m<即可，∴所求m的取