2012年山东师大附中高三数学双曲线教案

2012年山东师大附中高三数学双曲线教案

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1、8.2双曲线●知识梳理定义1.到两个定点F1与F2的距离之差的绝对值等于定长(<

2、F1F2

3、)的点的轨迹2.到定点F与到定直线l的距离之比等于常数e(>1)的点的轨迹方程1.-=1,c=,焦点是F1(-c,0),F2(c,0)2.-=1,c=,焦点是F1(0,-c)、F2(0,c)性质H:-=1(a>0,b>0)1.范围:

4、x

5、≥a,y∈R2.对称性:关于x、y轴均对称,关于原点中心对称3.顶点:轴端点A1(-a,0),A2(a,0)4.渐近线:y=x,y=-x5.离心率:e=∈(1,+∞)6.准线:l1:x=-,l2:x=7.

6、焦半径:P(x,y)∈H,P在右支上,r1=

7、PF1

8、=ex+a,r2=

9、PF2

10、=ex-a;P在左支上,r1=

11、PF1

12、=-(ex+a),r2=

13、PF2

14、=-(ex-a)思考讨论对于焦点在y轴上的双曲线-=1(a>0,b>0),其性质如何?焦半径公式如何推导?●点击双基1.双曲线-=1的渐近线方程是A.y=±xB.y=±xC.y=±xD.y=±x解析:由双曲线方程可得焦点在x轴上,a=2,b=3.∴渐近线方程为y=±x=±x.答案:A2.过点(2,-2)且与双曲线-y2=1有公共渐近线的双曲线方程是A.-=1B.-=1C.-=

15、1D.-=1解析:可设所求双曲线方程为-y2=λ,把(2,-2)点坐标代入方程得λ=-2.答案:A3.如果双曲线-=1上一点P到它的右焦点的距离是8,那么P到它的右准线距离是A.10B.C.2D.解析:利用双曲线的第二定义知P到右准线的距离为=8×=.答案:D4.已知圆C过双曲线-=1的一个顶点和一个焦点,且圆心在此双曲线上,则圆心到双曲线中心的距离是____________.解析:由双曲线的几何性质易知圆C过双曲线同一支上的顶点和焦点,所以圆C的圆心的横坐标为4.故圆心坐标为(4,±).易求它到中心的距离为.答案:5.求与圆A

16、:(x+5)2+y2=49和圆B:(x-5)2+y2=1都外切的圆的圆心P的轨迹方程为________________.解析:利用双曲线的定义.答案:-=1(x>0)●典例剖析【例1】根据下列条件,求双曲线方程:(1)与双曲线-=1有共同的渐近线,且过点(-3,2);(2)与双曲线-=1有公共焦点,且过点(3,2).剖析:设双曲线方程为-=1,求双曲线方程,即求a、b,为此需要关于a、b的两个方程,由题意易得关于a、b的两个方程.解法一:(1)设双曲线的方程为-=1,由题意,得=,-=1,解得a2=,b2=4.所以双曲线的方程为

17、-=1.(2)设双曲线方程为-=1.由题意易求c=2.又双曲线过点(3,2),∴-=1.又∵a2+b2=(2)2,∴a2=12,b2=8.故所求双曲线的方程为-=1.解法二:(1)设所求双曲线方程为-=λ(λ≠0),将点(-3,2)代入得λ=,所以双曲线方程为-=.(2)设双曲线方程为-=1,将点(3,2)代入得k=4,所以双曲线方程为-=1.评述:求双曲线的方程,关键是求a、b,在解题过程中应熟悉各元素(a、b、c、e及准线)之间的关系,并注意方程思想的应用.若已知双曲线的渐近线方程ax±by=0,可设双曲线方程为a2x2-b

18、2y2=λ(λ≠0).【例2】(2002年全国,19)设点P到点M(-1,0)、N(1,0)距离之差为2m,到x轴、y轴距离之比为2,求m的取值范围.剖析:由

19、PM

20、-

21、PN

22、=2m,得

23、

24、PM

25、-

26、PN

27、

28、=2

29、m

30、.知点P的轨迹是双曲线,由点P到x轴、y轴距离之比为2,知点P的轨迹是直线,由交轨法求得点P的坐标,进而可求得m的取值范围.解:设点P的坐标为(x,y),依题意得=2,即y=±2x(x≠0).①因此,点P(x,y)、M(-1,0)、N(1,0)三点不共线,得

31、

32、PM

33、-

34、PN

35、

36、<

37、MN

38、=2.∵

39、

40、PM

41、-

42、PN

43、

44、

45、=2

46、m

47、>0,∴0<

48、m

49、<1.因此,点P在以M、N为焦点,实轴长为2

50、m

51、的双曲线上.故-=1.②将①代入②,并解得x2=,∵1-m2>0,∴1-5m2>0.解得0<

52、m

53、<,即m的取值范围为(-,0)∪(0,).评述:本题考查了双曲线的定义、标准方程等基本知识,考查了逻辑思维能力及分析问题、解决问题的能力.解决此题的关键是用好双曲线的定义.【例3】如下图,在双曲线-=1的上支上有三点A(x1,y1),B(x2,6),C(x3,y3),它们与点F(0,5)的距离成等差数列.(1)求y1+y3的值;(2)证明:线段AC的垂

54、直平分线经过某一定点,并求此点坐标.剖析:可以验证F为焦点,利用第二定义可得三点到准线的距离也成等差数列,进而有三点纵坐标成等差数列,由此易得y1+y3的值.为求出AC的中垂线所过定点,不妨设想作出A与C关于y轴的对称点A′与C′.由双曲线的对称性,易知A′与C

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