试题名称：初中数学竞赛辅导资料（66）辅助圆

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1、初中数学竞赛辅导资料（66）辅助圆甲内容提要1.经过两个点可以画无数个圆；经过三个点作圆，必须是不在同一直线上的三个点，可以作一个圆，并且只能作一个圆.2.经过四点作圆(即四点共圆)有如下的判定定理：①到一个定点的距离相等的所有的点在同一个圆上(圆的定义).②一组对角互补的四边形顶点在同一圆上.③一个外角等于它的内对角的四边形顶点共圆.④同底同侧顶角相等的三角形顶点共圆.推论：同斜边的直角三角形顶点共圆(斜边就是圆的直径).3.画出辅助圆就可以应用圆的有关性质.常用的有：①同弧所对的圆周角相等.②圆内接四边形对角互

2、补，外角等于内对角.③圆心角(圆周角)、弧、弦、弦心距的等量关系.④圆中成比例线段定理：相交弦定理，切割线定理.4.证明型如ab+cd=m2常用切割线定理乙例题例1.已知：点O是△ABC的外心，BE，CD是高.求证：AO⊥DE证明：延长AO交△ABC的外接圆于F，连接BF.∵O是△ABC的外心∴AF是△ABC外接圆的直径，∠ABF=Rt∠.∵BE，CD是高，∠BDC=∠CEB=Rt∠.∴B，C，E，D四点共圆(同斜边的直角三角形顶点共圆)∴∠ADE=∠ECB=∠F.∴∠AGD=∠ABF=Rt∠，即AO⊥DE.例2.

3、正方形ABCD的中心为O，面积为1989cm2，P为正方形内的一点，且∠OPB=45，PA∶PB=5∶14，则PB=____cm.　　　　　　(1989年全国初中数学联赛题)解：∵∠OPB=∠OAB=45∴ABOP四点共圆(同底同侧顶角相等的三角形顶点共圆)∴∠APB=∠AOB=Rt∠.在Rt△APB中，设PA为5x，则PB是14x.∴(5x)2+(14x)2=1989.解得x=3,　14x.＝42.∴PB=42(cm).例3.已知：平行四边形ABCD中，CE⊥AB于E，AF⊥BC于F.求证：AB×AE+CB×CF

4、=AC2.证明：作BG⊥AC交AC于G.∵CE⊥AB，　AF⊥BC.∴A，F，B，G和B，E，C，G分别共圆.　　　　　　　　　(对角互补的四边形顶点共圆)根据切割线定理，得AB×AE=AG×ACCB×CF=CG×AC∴AB×AE+CB×CF=AC(AG+CG)=AC2.例4.已知：AD是Rt△ABC斜边的高，角平分线BE交AD于F.求证：AE2=AB2－BE×BF.分析：根据同角的余角相等，可证AE=AF.由射影定理AB2=BD×BC.故只要证AE×AF＝BD×BC－BE×BF创造应用切割线定理的条件，作△ABC

5、的外接圆并延长BE交圆于G，得F、D、C、G四点共圆.∴BD×BC=BF×BG.∴右边=BF×BG.－BE×BF=BF(BG－BE)=BF×EG从而转为要证AE×AF=BF×BG.即只要证△AEG∽△BFA……(证明由同学自已完成)例5已知：从⊙O外一点P作⊙O的两条切线PA，PB切点A和B，在AB上任取一点C，经过点C作OC的垂线交PA于M，交PB于N.　求证：OM=ON.证明：连结OA，OB.∵A，B是切点∴OA⊥PA，OB⊥PB.又∵OC⊥MN.∴A，M，C，O和B，N，O，C分别共圆.(辅助圆可以不画)根据

6、同弧所对的圆周角相等，得∠OAC=∠OMC，　∠ONC=∠OBC.∵OA=OB，　∴∠OAC=∠OBC.∴∠OMC=∠ONC，∴OM=ON.丙练习661.已知：AD是△ABC的高，DE，DF分别是△ADB和△ADC的高求证：B，C，F，E四点共圆2.已知：两条线段AB和CD相交于点P，且PA×PB=PC×PD.求证：A，B，C，D四点共圆.3.已知：⊙O和⊙O，相交于A，B，过点A作一直线交⊙O于C，交⊙O，于D，分别过　　点C和点D作⊙O和⊙O，的切线相交于点P.求证：P，C，B，D四点在同一个圆上.4.已知：E

7、是正方形ABCD边BC上的一点，过点E作AE的垂线和∠C的外角平分线交于点F.求证：AE=AF.5.已知：M是平行四边形ABCD对角线AC上的一点，过点M画两组对边的垂线段分别交AB，CD于E，F交AD，BC于G，H.求证：EG∥FH.6.已知：△ABC的三条高AD，BE，CF交于点H.求证：BH×BE+CH×CF=BC2.7.已知：AB是⊙O的直径，C是半圆上的一点，CD⊥AB于D，G是CD上的一点，AG的延长线交半圆于H.求证：CD2+AD2=AG×AH.8.已知：AD是△ABC的角平分线.求证：AD2=AB×

8、AC.＝DB×DC9.已知：凸五边形ABCDE中.∠A=3α，BC=CD=DE，∠C=∠D=180.＝2α.求证：AC，AD，AE三等分∠A.　　　(1990年全国初中数学联赛题)10.求证：圆上一点到圆内接四边形两组对边的距离的积相等11.求证：圆内接四边形两组对边积的和等于两对角线的积(托列密定理)12.如图已知：圆内接四边形ABCD中，由AB上一点M作