试题名称：2004太原市初中数学竞赛试题

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1、2004太原市初中数学竞赛试题　　一、选择题(本题共有6个小题，每小题7分，共42分)　　1.若0＜a＜1，-2＜b＜-1，则的值是(　　).　　A.0　　　　B.-1　　　　C.-2　　　　　D.-3　　2.设α、β是方程2x2-3

2、x

3、-2=0的二实数根，则的值是(　　).　　A.-1　　　　B.1　　　　C.-　　　　D.　　3.如图，在△ABC中，∠A=60°，∠C=80°，∠C的平分线与∠A的外角平分线交于D，连结BD，则tan∠BDC的值是(　　).　　A.1　　　　B.　　　C.　　　　D.　　4.有一种足球是由32块黑白相间的牛皮缝制而成，黑皮为正五边形，白皮为正六边

4、形，且边长都相等(如图)，则白皮的块数是(　B　).　　A.22　　　　B.20　　　　C.18　　　　　　D.16　　5.已知△ABC中，∠C=90°，AC=，BC=5，以C为圆心，BC为半径作圆交BA的延长线于D，则AD的长为(　　).　　A.　　　B.　　　C.　　　　　D.　　6.已知方程+3=，则此方程的正整数解的组数是(　　).　　A.1　　　　B.2　　　　C.3　　　　　　　D.4　　二、填空题(本题共有6个小题，每小题7分，共42分)　　7.圆中两条相交弦将圆内区域分为4个部分，请在圆中再画出三条弦，将圆内区域分为15个部分。　　8.已知k为整数，若关于x的二次方程

5、kx2+(2k+3)x+1=0有有理根，则k的值是_______.　　9.已知梯形ABCD中，AD∥BC，AC、BD交于O，△AOD和△AOB的面积分别为9和12，则梯形ABCD的面积是__________.　　10.设二次函数y=x2+2ax+(a＜0)的图像顶点为A，与x轴交点为B、C，当△ABC为等边三角形时，a的值为__________.　　11.连结正方形两组对边上的对应三等分点，得右图，则由图中所有线段构成的矩形共有______个.　　12.如图，一抛物线弧的最大高度为15，跨度为60，则距离中点M与12的地方，弧的高度是_________.　　三、已知n为正整数，一次函

6、数y=x+n+1的图像与坐标轴围成三角形的外接圆面积为π，求此一次函数的解析式.(16分)　　　　　　　　四、设四位数是一个完全平方数，且=2+1，求这个四位数.(16分)　　五、已知△ABC内接于⊙O，AD，BD为⊙O的切线，作DE∥BC，交AC于E，连EO并延长交BC于F，求证：BF=FC.(17分)　　　　　　　　六、已知当-1＜x＜0时，二次函数y=x2-4mx+3的值恒大于1，求m的取值范围.(17分)参考答案　　1.解：∵a-1＜0，b+2＞0，a+b＜0,　　∴原式=-1-1-1=-3.∴选(D).　　2.解：原方程即2

7、x

8、2-3

9、x

10、-2=0，即(2

11、x

12、+1)(

13、

14、x

15、-2)=0，　　∵2

16、x

17、+1＞0，

18、x

19、-2=0，　　∴x=±2.　　∴==-1.　　∴选(A).　　3.解：∵D在∠C的平分线上，　　∴D到CB，CA的距离相等，　　又∵D在∠A的外角平分线上，　　∴D到CA，AB的距离相等，　　∴D到AB，CB的距离相等，　　∴D在∠B的外角平分线上.　　∵∠ABC=40°，∴∠DBA=70°，　　∴∠DBC=110°，　　又∵∠BCD=40°，∠BDC=30°，　　∴tan∠BDC=.　　∴选(D).　　4.解：设白皮有x块，则黑皮有32-x块，　　∵黑皮为正五边形，　　∴黑皮共有边数为5(32-x)条，　　又∵每块白皮有三条边和黑皮连在

20、一起，　　∴黑皮共有边数还可表为3x条，由此得方程　　5(32-x)=3x，解之得白皮有x=20(块).　　∴选(B).　　5.解：延长AC与圆相交于E、F，则AF=5+，　　AE=5-，　　又知AB=6，由相交弦定理AD·AB=AE·AF得　　AD===.　　∴选(C).　　6.解：∵=10，x，y为正整数，　　∴、化为最简根式后应与为同类根式，只能有以下三种情况：　　+3=+9=4+6=7+3=10，　　∴共有三组解，选(C).　　7.解：圆中五条弦两两相交，且任何三条弦不交于一点，最多可将圆内区域分为16个部分，　　∴欲将圆内区域分为15个部分，只需有两条弦交于圆周上或交于圆外

21、，或者有三条弦在圆内交于一点，如图示.　　8.解：∵方程有有理根，∴判别式△1=(2k+3)2-4k为完全平方数.　　设(2k+3)2-4k=m2(m为正整数)，即4k2+8k+9-m2=0①　　将①式看作关于k的二次方程，由题设知有整数根，故①式的判别式　　△2=64-16(9-m2)=16(m2-5)应为完全平方数.而16是完全平方数,　　令m2-5=n2(n为正整数，且m＞n)，则有(m+n)(m-n)=5，　　∴解得　　将m=3代入①式得k=-2或