利用插补法求解组距数列的中位数和众数

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1、利用插补法求解组距数列的中位数和众数 一、中位数(Median)中位数是一组数据按从小到大排序后，处在中间位置上的变量值，用Me表示。中位数将全部数据等分成两部分，使一部分数据比中位数大，另一部分数据则比中位数小。中位数是一个位置代表值，它主要用于测定数据的集中趋势，且不受极端数值的影响。此外，中位数还具有一个性质，就是各变量值与中位数的离差绝对值之和最小，即(1)根据未分组数据计算中位数时，要先对数据进行排序，然后确定中位数的位置，其公式为：中位数的位置=，式中的为数据的个数，凭此确定中位数的具体数值。设有一组数据从小到大排序后为。若为奇数，则中位数为；若为偶数，则中位数是与的平

2、均数。即(2)根据分组数据计算中位数时，要先根据公式确定中位数的位置，并确定中位数所在的组。如果是单项数列，则中位数就取中位数所在组的组值(即标志值)；如果是组距数列，则采用下面的公式计算中位数的近似值：(3)式(3)中，∑ƒ为数据的个数(总次数)；L为中位数所在组的下限值；为中位数所在组以前各组的累积频数；为中位数所在组的频数；为中位数所在组的组距。式(3)中，假定中位数所在组的频数在该组内是均匀分布的。ACiXB       图-1组距数列中位数的分布图那么，我们接下来要讨论的是如何求证式(3)，即组距数列中位数的计算公式。假设上面图-1是某组距数列次数分布图。利用插补法进行比

3、例推算。图-1中，A点表示中位数所在组的下限，其值为L；B点表示中位数所在组的上限；C点表示中位数所处的位置，其值为Me；A点到B点所夹的距离，也就是中位数所在组的组距，其值为；A点到C点所夹的距离，就是中位数所在组的下限到中位数位置的距离，其值设为X。我们假定图-1中，AB区域即整个中位数所在的组内，次数分布是均匀的，依次分布着个次数或频数。同样，再假定AC区域内，次数分布也是均匀的，且依次分布着个次数或频数，式中的是中位数所在的位置，为中位数所在组以前各组的累积频数。这样，我们可以得到下面的等式：(4)将上述假设代入式(4)，得：所以，有(5)中位数所在的位置是：(6)将式(5

4、)代入式(6)，则：上面的式(3)就得到了证明。例一、设某车间50名工人日加工零件数分组表如下：表-1按零件数分组(个)频数(人)频率(%)105～11036110～115510115～120816120～1251428125～1301020130～135612135～14048合计50100要求：计算该车间50名工人日加工零件数的中位数。解：由表-1可知，中位数的位置=，根据累计频数可测得中位数在120～125这一组中，L=120，=16，=14，=5，根据式(3)，得二、众数(Mode)众数是一组数据中出现次数最多的变量值，用表示。众数是一个位置代表值，它也不受数列中极端数值的

5、影响。但它可以反映总体各单位某一标志值的集中趋势。当然，在特殊情况下，可能没有众数，也可能多于一个众数。在实际应用中，众数用来说明现象的一般水平。众数的计算分两种情况，在未分组资料或单项数列中，可用观察法直接确定众数，即总体中出现次数最多的标志值就是众数。在组距数列中，确定众数时，先要确定次数最多的一组为众数组，然后根据数列的次数分布情况，计算众数的近似值。用公式表示为：(7)式中，为众数组的下限值；为众数组的组距；是众数组的次数与靠近下限的邻组次数之差；是众数组的次数与靠近上限的邻组次数之差。BACDEFGHOMO下面，我们仍要利用插补法推导组距数列中众数的计算公式，即式(7)，

6、为了能直观地介绍该方法，利用几何图解比较好理解。图-2组距数列中的众数位置图图-2假定是组距数列的次数分布直方图，横坐标是组距，纵坐标是次数分布状况。一般来说，在等距数列中次数分布愈集中，直方柱愈高。为了便于说明此问题，我们只画了三根直方柱。从图中可以看到，中间一组就是中位数所在的组，其次数分布最集中。我们假定G点是众数所在的组的下限，H点是众数所在的组的上限，GH的距离就是众数组的组距()，点就是众数所处的位置。从图中我们可以看出，众数的位置主要取决于众数所在组的左右两邻组的次数分布。如果左右两邻组的次数分布相等即高度相等(=)，无疑众数就在众数所在组的正中央；如果左邻组的次数分

7、布高于右邻组的次数分布(＞)，则会偏向左边，靠近众数组的下限；如果左邻组的次数分布低于右邻组的次数分布(＜)，则会偏向右边，靠近众数组的上限。图-2中，我们连结AD和BC两条线段，它们的交点为O，而O点垂直连线与横坐标轴的交点就是，现假定G点到的长度为X，则到H点的长度是－X。另外，假定众数所在组的次数为；AB的距离为，且=－；CD的距离为，且=－。由于O是垂直连线，EO=G=X；OF=H=－X。G点是众数所在组的下限，其值为L。我们从图-2中可以发现，△AOB≌△C