16.3点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系

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1、16.3点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系【考纲要求】1.能根据给定直线与圆的方程，判断直线与圆的位置关系；2.能由给定的两个圆的方程，判断两圆的位置关系；3.会求两圆相交弦的方程、弦长、弧长，会求圆的切线方程.【命题规律】直线与圆的位置关系是本节考查的重点内容，题型为填空题，通常考查圆的切线方程、直线与圆相交的弦长、切线长、圆心角、弧长及面积的计算。圆与圆的位置关系通常考查公共弦长、公共弦的方程、对称性。解析几何中设而不求的思想方法，圆与其他知识的交汇，一般会在解答题中出现，难度适中。【知识回顾】一、点与圆的位置

2、关系1.已知圆，圆心为，那么点与圆的位置关系有：（1）点在圆上（2）点在圆内（3）点在圆外2.圆外一点到圆上任一点的最大距离为，最小距离为.二、直线与圆的位置关系1.位置关系：相离、相切、相交，分别对应直线与圆有0个、1个、2个公共点。2.判断方法：（1）代数法：这种由判别式来判断位置关系的方法，即代数法，是解析几何中研究两条曲线交点问题的通法，也是一种基本方法，具有一般性，但运算量比较大，一般不用此法。（2）几何法：利用圆心到直线的距离与圆的半径的大小来判断，即三、圆与圆的位置关系1.位置关系：外离、外切、相交、

3、内切、内含2.判断方法：判断两圆的位置关系，利用圆心距和两圆半径的大小关系来判断设，则圆心距为，第7页（共7页）16.3点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系则一、直线与圆相切——“切线”问题1.求过圆上的一点的切线方程先求切点与圆心连线的斜率，由垂直关系知切线斜率为，由点斜式方程可求切线方程，若切线斜率不存在，则由图形写出切线方程.2.求过圆外一点的圆的切线方程（1）几何方法：当斜率存在时，设为，切线方程为，即.由圆心到直线的距离等于半径，即可得出切线方程.（2）代数方法：设切线方程为，即，代入圆方程，得到一个关于的

4、一元二次方程，由，求得，切线方程即可求出.（3）从圆外一点引圆的切线一定有两条，如果求出的切线斜率只有一个，则另一条切线一定垂直于轴.二、直线与圆相交——“弦长”问题、“圆系”问题ABO1.直线被圆截得的弦长（1）几何方法：由半径，弦心距，及半弦长构成的直角三角形，利用勾股定理得弦长为（2）代数方法：利用弦长公式设直线与圆相交于两点，将直线方程与圆的方程联立后，整理出关于的方程，求出，则,或2.弦中点求法：（1）由直线与圆方程联立得到关于的一元二次方程，由唯达定理得（2）由弦所在方程和过圆心且垂直于弦的直线方程组成

5、的方程组求得交点坐标（即中点）。3.直线与圆相交时，过两圆交点的圆系方程为.第7页（共7页）16.3点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系一、直线与圆相交、相切、相离时的结论及方法1.过圆上一点的切线方程：证明：方法一：，，即，即又在圆上，方法二：设，即圆心到的距离，即即，，即2.过圆上一点的切线方程为3.过圆上一点的切线方程为证明：圆心为，，切线方程为即在圆上即4.从圆外一点引圆的两条切线，切线长.证明：圆心为，5.从圆外一点引圆的两条切线，切线长6.从圆外一点引圆的两条切线，则切点弦所在直线方程为证明：方法一：设坐

6、标分别为在已知圆上，过的切线方程分别为，又为两切线公共点，，上式表明点都满足二元一次方程.直线方程为第7页（共7页）16.3点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系方法二：设以为直径的圆的方程，其圆心为，半径即又，1.若点是圆外一点，则直线与该圆的位置关系是相交.若点是圆上一点，则直线与该圆的位置关系是相切.若点是圆内一点，则直线与该圆的位置关系是相离.证明：在圆外，，又点到的距离直线与圆相交。2.过圆内一点的直线与圆交于一条弦，其中：当过圆心时弦长最大，即直径；当不过圆心但垂直于时，弦长最小，且是以A为中点，且到的距离

7、最大。3.当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最大距离为，最小距离为（其中为圆心到直线的距离）一、两圆相交——“相交弦直线方程”“过两圆交点的圆系方程”1.设圆和圆相交，过两圆交点的交点弦方程为：=注：由①-②得……③①当两圆是同心圆时，此直线不存在②当两圆相交时，方程③为公共弦（即相交弦）所在直线；（两圆相交弦的中垂线为连心线，但是连心线段的中垂线不一定是相交弦所在直线，除非两圆是等圆）③当两圆外切时，方程③为两圆内公切线所在直线；④当两圆内切时，方程③为两圆公切线所在直线；⑤当两圆相离时，方程③为与两圆连心线垂直

8、的直线；⑥当两圆半径相等时，方程③为两圆的对称轴.2.过两圆交点的圆系方程：设圆和圆相交，过交点的圆系方程为：.当时，方程变为，它表示过两圆交点的直线.第7页（共7页）16.3点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系【典例分析】例1.已知圆，求证：不论为何值，圆心在同一直线上。解:（1）证明：配方得设圆心为，则则不论m为何值，圆心恒在直线上.例2.若过点A(4,0