逻辑学与数学《逻辑学导论结课论文》

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1、逻辑学与数学摘要：逻辑把数学材料组织成一个科学的系统，使数学成为刻画自然规律和社会规律的科学语言和有效工具。事实上，任何一部数学理论都是由一套概念、命题和命题的推理证明所组成，数学是建立在逻辑基础上，借助于逻辑的基本形式、推理规则和推理方法使数学成为一门独立的学科。关键词：推理，逻辑，判断，证明，规律，数学正文：所谓思维，是人类所特有的一种高级心理活动，是人脑反映客观事物及其相互关系的一种过程，是认识发展的一个新阶段。例如，某人清晨起来，看见外面屋顶湿了，道路也湿了，树木的叶子也都湿了，他马上会想到：昨天夜里又下过雨了！尽管这个人不是直接知觉到雨，但他知道“雨”和“屋顶道路等的

2、变湿”有着因果关系，所以作出“昨晚下雨”这个论断，这一思考过程就是思维。也就是说，人们在实践中得到的感性认识，积累多了，就要用脑子来想一想，整理一下所得的材料。这里的想一想，就是运用思维，即通过分析、综合、比较、抽象概括等方法抽象出概念、判断、进而由一些概念作出推理，再得出新的判断，这就是人脑对客观事物的理性认识阶段。所谓思维形式就是概念、判断、推理等形式，思维就是借助于概念、判断、推理来进行的。在各个学科日益迅速发展的今天，逻辑学与我们其他的很多学科有了越来越密切的联系，他为我们其他的学科提供了思辨的源泉，我们的日常生活中的许多思维方式都是需要根据逻辑学的知识去推导论证。逻辑

3、学也拉近了各个学科之间的距离，使得学科之间的相互联系也更加密切。数学可以说是与逻辑学关系最亲密的一门学科。一般意义上的逻辑问题都可以划归为数学意义上的逻辑问题，数学中的很多问题就涉及到了逻辑学中的概念定义、推理论证的规则等等。逻辑学的相关知识使得数学中一些推理论证更加容易，它为数学提供了直接思辨的源泉。数学中许多推理论证方法如直接证法、间接证法和数学归纳法等，就是直接从逻辑学中在引用的，而数学中推理论证也使得逻辑学更加的完善和正确。数学推理论证也可以看作逻辑学的具体运用.数学概念是反映客观事物空间形式和数量关系的本质属性的思维形式，它反映的是一类具有共同属性的事物（能区别于其他

4、事物）的全体。数学概念是现实世界空间形式和数量关系的本质属性在人的思维中的反映，需要用数学语言表达出来，才能便于研究和交流。数学概念主要是用词语和符号来表达，如“直角三角形”这一数学概念，用词语表达是“有一个内角是直角的三角形叫做直角三角形”，任何一个数学概念都有它确定的含义以及所确定的对象范围，这就是说数学概念是由它的内涵和外延组成。数学概念的内涵是指数学概念所反映对象的本质属性的总和，是概念在质的方面的反映，说明概念所反映的事物是什么。数学概念的外延是这个概念所反映的全部对象，是概念在量方面的反映，说明概念所反映事物的范围。数学概念的内涵和外延相互联系、互相依赖，给定一个概

5、念，意味着就确定了它的内涵和外延。也就是说，概念的内涵严格地确定概念的外延，反之概念的外延也完全确定着概念的内涵。判断与数学命题一、判断⒈判断的意义判断是对思维对象有所断定的思维形式。这里所说的“断定”，就是肯定或否定。判断有两个基本特征：第一，有所断定。第二，有真假之分。⒉判断的种类数学中常用的判断可按其本身是否还包含有其他判断分为简单判断和复合判断。⑴简单判断。简单判断是不包含有其他判断的判断。简单判断可按所断定的是对象的性质还是关系分为性质判断和关系判断。性质判断是断定某事物具有（或不具有）某种性质的判断。性质判断可以分为四种基本形式：全称肯定判断，记作A。全称否定判断，

6、记作E。特称肯定判断，记作I。特称否定判断，记作O。A、E、I、O这四种判断之间有以下四种真假关系：盾关系关系SIPSOP矛矛SAPSEP反对关系盾下反对关系关系判断是断定事物与事物之间关系的判断。⑵复合判断。复合判断是包含有至少一个其他判断的判断。复合判断可按组成它的各个简单判断的组合形式和性质分为：①负判断。②联言判断。③选言判断。④假言判断。二、数学命题⒈数学命题的意义判断是用语句表达的，表达判断的陈述语句称为命题。表示数学判断的陈述语句或符号的组合称为数学命题。判断有真假之分，命题也相应地有真假之分。一个数学命题，非真即假，不能既真又假。与判断的分类相对应，命题也有简单

7、命题和复合命题之分。简单命题是本身不再包含其他命题的命题，简单命题又可以分为性质命题和关系命题；复合命题是本身还包含有其他命题的命题，复合命题又可以分成负命题、联言命题、选言命题和假言命题。数学中研究的大部分是复合命题。⒉命题的基本运算命题的运算，就是通过命题的符号化、形式化，由若干命题构成新的命题。其关键是逻辑联结词的运用。因而，命题运算实际上是命题的逻辑联结。命题的基本运算有：否定、合取、析取、蕴涵、等价等，与之对应的逻辑联结词分别是：非（）、与（∧）、或（∨）、若……则……（）、当且仅