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1、欧拉积分及其应用摘要：本文总结了欧拉积分的定义及主要性质，并分类举例讨论了欧拉积分在几种定积分和重积分中的应用.关键词：欧拉积分；函数；函数.17TheEulerintegralandapplicationoftheEulerintegralAbstract：Thispaperdescribethedefinition,themainnatureanddiscussedabouttheapplicationofsolvingdefinteintergralcalculationbyusingEulerIntergral.Keywords:Eulerintegr
2、al;-function;-function.17前言欧拉积分是一类特殊的含参量积分，这类积分有着广泛的应用.本文对其所包含的两类积分的定义和主要性质进行了简单总结和扼要证明，举例说明了欧拉积分的简单应用，并分类讨论了运用欧拉积分求解几种定积分和重积分中的方法.1.预备知识函数函数统称为欧拉积分.2.函数及其性质2.1的定义域为.对：，为正常积分，，为收敛的无界函数的积分，其中为瑕点；对，用柯西判别法推得,当时是收敛的无穷限反常积分.综上所述，为函数的定义域.2.2在内连续对任意区间任意当时由柯西判别法知收敛.因此，由判别法知，在上一致收敛.当时，在上一致收敛
3、.17由连续性定理：在上连续，由的任意性，在内连续.2.3在内可导考察.它在任意内闭子区间上一致收敛，因此判断得在上一致收敛，由可微性定理知.从而，.依此类推2.4递推公式对任意，;当即时.只要知在的值，即可求对任意时的值..例1计算及的值.解17.2.5函数的极值与凸性,极值点,当.2.6函数的延拓令对在上有定义,进而在上也有意义.例2计算及的值.解由余元公式有,因此.17由余元公式有,因此.2.7的其他形式令,令例3证明解令则故.例4证明.解令则故.173.函数及其性质3.1函数的定义域对当时，为的瑕点。时收敛时发散因此，在时收敛对为的瑕点时收敛时发散.3
4、.2函数在定义域内连续对任意存在使对任意,有，由柯西判别法知收敛，由--判别法知在上一致收敛,由连续性定理:在上连续.3.3对称性令,则.3.4递推公式17.3.5函数的其它形式当时,,则当时,,则，令,则.例5证明.解令,则,故.17例6证明.解令,则,于是.4.函数与函数之间的关系证明令,则，用代,用代,，.用代,，对上式关于在上,两边同时求积分：.注：当为正整数时，17.因此；当时,此公式称为余元公式；利用当,有,得，令,则,；令，当时,得例7证明17.解.5.欧拉积分的应用5.1形如的定积分计算例8计算.解令,则有,利用三角恒等式可得,，将其带入原式得
5、.由前面的性质可知，从而.175.2形如积分的计算例9计算.解令,则,由其性质知.例10证明.解令,则,于是.例11证明.解令,则,于是17.例12证明尤拉等式.解令,则，，，左边右边.因此命题得证.例13求.解令,则,，因此.5.3在重积分计算中的应用例14设区域,已知正实数满足17,试计算重积分.解作变换,则有,其中,取球面坐标,则有，对于上式前两个积分,由前述性质知,.对第三个积分,有，因为,所以积分收敛,而积分收敛，当且仅当,即.所以当满足时,收敛,从而原积分收敛.令,获得.所以.再由前述性质得.175.4欧拉积分的其他简单应用例15求及的值.解令,则
6、因此.例16证明:若，则.解令因此.例17证明勒证德公式.证明令,则,17.例18证明.解令.17参考文献[1] 华东师范大学数学系.数学分析[M](下册).北京:高等教育出版社,2001.[2]刘世清,牟海维,王立刚,高宇飞.第二类欧拉积分在半导体物理中的应用[J].大庆石油学院学报,2006.[3] 刘玉琏,刘伟,刘宁等.数学分析讲义练习题选解[M].北京:高等教育出版社,2002.[4] 费定辉,周学圣等.吉米多维奇数学分析习题集题解[M].济南:山东科学技术出版社,2003.[5]赵纬经,王贵君.欧拉积分在定积分计算中的应用[J].青海师范大学学报(自
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