极限思想在数学解题中应用

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1、极限思想在数学解题中应用极限思想方法是用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想，通过对问题的极端状态的讨论，避开了抽象复杂的演算，优化了解题过程和解题方法，降低了解题难度。本文以运动变化的观点讨论了极限思想在数学竞赛中的应用，以开阔学生的视野，提高学生解题的技巧。1.利用极限思想，简化解题，深化思维在求不等式的解集和变量的取值范围问题中，利用极限思想来寻求解题的途径，常常能达到简化计算过程，化难为易，深化思维，使问题轻松获解的效果。例1（2004年全国高中数学联赛试题）：不等式+logx+2＞0的解集是（

2、）。A.［2，3）B.（2，3］C.［2，4）D.（2，4］简析：本题为不等式解集问题，通常考查变数字母取其区间的端点和端点的极限情况。当x趋近2时，左边结果趋近，且当x=2时，不等式有意义，排除B、D，又当x趋近于4时，不等式成立，排除A，因此答案选C。例2（2004年高中数学联赛四川赛区试题）：已知不等式m+（cosθ-5）m+4sinθ＞0恒成立，则参数m的取值范围是（）。A.0≤m≤4B.1≤m≤4C.0≤m或m≥4D.m≤0或m≥17简析：本题为参变量的取值范围问题，当m趋近∞时，左边结果大于0，

3、排除A、B，又当m趋近1时，不等式不一定成立，排除D，因此答案选C。评注：极限思想是特殊值法的延伸，它提供了从变量变化中研究趋势的数学方法。减少计算量是使问题迅速、准确获解的关键；利用极限思想，着眼于问题的极限状态是减少计算量的重要途径。2.利用极限思想，优化解题，活化思维在立体几何问题中，利用运动变化的观点对最大、最小、最近、最远等特殊位置进行极端位置的考察，以达到发现问题的解题思路和问题结果的目的，活化思维，培养思维的灵活性。例3（1992年全国高中数学联赛试题）：设四面体的四个面的面积分别为S，S，S

4、，S，它们中的最大值为S，记，则λ一定满足（）。A.2＜λ≤4B.3＜λ＜4C.2.5＜λ≤4.5D.3.5＜λ＜5.5图1简析：如图1，不妨设底面ABC的面积最大，若四面体为正四面体，则λ取最大值为4；当顶点P无限趋近底面ABC时，则侧面PAB、PBC、PCA无限趋近底面，则λ无限趋近于2。因此从以上两种情况可得出结论，答案为A。7例4（1995全国年高中联赛试题）：设O是正三棱锥P-ABC底面△ABC的中心，过O的动平面与正三棱锥P-ABC的三条侧棱或其延长线的交点分别记为Q，R，S，则和式++（）。A

5、.有最大值而无最小值B.有最小值而无最大值C.既有最大值又有最小值，且最大值与最小值不等D.是一个与平面QRS位置无关的常量图2简析：如图2，考查动平面QRS，当动平面QRS无限趋近底面ABC，则和式++趋近++（定值）；当动平面QRS的点Q趋近A，R趋近PB的中点，则动平面QRS与直线PC平行，相交于无穷远点，和式++趋近+（定值）。因此综合以上两种极限情况可得出结论：和式++是一个定值，答案为D。例5（2004年全国高中数学联赛试题）：在正n棱锥中，相邻两侧面所成的二面角的取值范围是（）。A.（π，π）

6、B.（π，π）C.（0，）D.（π，π）图37简析：如图3，设侧面所成的二面角为α，当顶点无限接近底面时，α趋于π；当顶点离底面无限远时，侧棱无限趋于与底面垂直，此时，α无限趋于底面正n边形内角π，所以，二面角α的取值范围为π＜α＜π。本例棱锥高不定，可将顶点看作是运动变化的，运用极限思想，考虑两种极限位置，从而使问题得到解决。评注：将某些点或量看成是运动的点，应用极限思想考查运动变化的极限情况，使问题获解。3.利用极限思想，化动为静，内化思维在对于定点、定值等的平面几何、解析几何问题中，利用极限思想对条件

7、的某种极限状况进行考查，往往能探索出问题的结论，再将问题从极端情况过渡到一般情况，使复杂问题迎刃而解。例6（1990年全国高中数学联赛试题）：设双曲线的左右焦点是F，F，左右顶点为M，N，若△PFF的顶点P在双曲线上，则△PFF的内切圆与FF边的切点位置是（）。A.在线段MN的内部B.在线段FM内部或FN内部C.点M或点ND.不能确定简析：如图4，F，F，M，N为定点，动点P在双曲线上移动。当P无限趋于M或N时，则△PFF的内切圆与边FF的切点位置无限趋于M或N；又当∠FPF=时，可计算出FP的长度等于F到

8、△PFF的内切圆切线的长度，故猜想得C。本例为客观题，有选择性，采取上述方法简化讨论过程，当然此题可用常规方法，但运算量较大。图47例7（IMO1959-2）：在定线段AB上任取一点M，在AB的同一侧以AM，BM为边，作正方形AMCD，BMEF，设这两个正方形的外接圆的圆心分别为P，Q，这两个圆交于M，N，求证：MN过某定点。图5简析：如图5，设动直线MN过定点T，由于T的位置不知，可以考虑M的特殊位置。若M为A