真值表推理规则证明方法

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1、第四章数学命题的数学设计一、真值表1、否定（非）：,设P为一个命题，称P为P的否定式，记作p，其真值表如下pptfft2、合取：设p,q表示两个命题，用逻辑联结词“与”把它们连接起来成为一个新命题“p与q”，记作p∧q。真值表如下：pqp∧qttttffftffff3、析取：设p,q表示两个命题，用逻辑联结词“或”把它们连接起来成为一个新命题“p或q”，记作p∨q。真值表如下：pqp∨qttttftfttfff4、蕴涵（如果、、、那么、、、）：设p,q表示两个命题，用“如果、、、那么、、、”把它们连接起来成为一个新命题“如果p,那么q”，记作p→q。真值表如下：p

2、qp→qttttfffttfft5、当且仅当（等价式）：设p,q表示两个命题，把p↔q称为p,q的等价式，其真值表如下pqp↔qTTTTFFFTFFFT真值表的作用证明重言式、两个命题等价，解决逻辑推理问题例1p∧q≡p∨q其真值表如下：pqp∧qp∧qpqp∨qTFTFFFFTFFTFTTFTFTTFTFFFTTFT例2p→q≡p∨q其真值表如下：pqpp→qp∨qTTFTTTFFFFFTTTTFFTTT三、推理规则1、合取规则：p为真q为真,p∧q也为真。2、分离规则：p→q为真，p为真，q也为真（充分条件假言规则）。3、全称命题为真，则特称命题也为真。4、p

3、→q,q→r,则p→r。5、(p↔q)∧(q↔r)→p↔r是恒真命题。p↔q(T)6、p(T)q(T)p→q7、q→pp↔qp→q(T)8、q(T)（否定规则）p(T)p→q9、q→pp∨q(T)10、p(T)（选言规则）q(T)p∧qp∧q11、或（联言规则）pq12、三段论：推理形式为如果M是P,S是M,那么S是P。它的逻辑式为：(M→P)∧(S→M)→(S→P)。这个命题的真值表是MPSM→PS→M(M→P)∧(S→M)S→P(M→P)∧(S→M)→(S→P)11011111100010111111111110101001010111110001111101

4、11001100110001由真值表可知：(M→P)∧(S→M)→(S→P)≡1是恒真命题。凡是恒真命题（重言式）都可作为推理规则。前面提到的分离规则(p→q)∧p→q≡1，选言规则(p∨q)∧p→q≡1，联言规则(p∧q)→p≡1，也都是恒真命题。分别证明如下：1、(p→q)∧→q≡(p∨q)∧p≡(p∨q)∧p∨q≡(p∨q)∨(p∨q)≡12、(p∨q)∧p→q≡(p∨q)∧p∨q≡(p∨q)∨(p∨q)≡13、(p∧q)→p≡(p∧q)∨p≡p∨q∨p≡1∨q≡1四、证明方法1、直接证明：直接从所给论题入手，以公理、定义、定理等为论据，运用逻辑推理规则来论

5、证论题为真的证明方法。在命题的推证过程中，为了找出证明的途径，根据思考时推理顺序不同，可分为综合法与分析法。（1）综合法：如果思考的顺序是从题设到题段的，这种思考方法就叫综合法。综合法的思考顺序是由因导果的顺序，是由A推演导出达到D的途径。但由A推出的结论未必唯一，如B、B1、B2等，而由B、B1、B2等能推出的结论则更多，如C、C1、C2、C3、C4等。这样，由其中的哪一个能推出D，找起来就未必很简捷了。综合法的逻辑依据是A→B,B→C,C→D,其中每个蕴涵是以前证过的定理，也可以是公理和定义。这样由A出发，依次应用分离规则，最后能得到D。详细写出来就是A→B(

6、已证）A((A→B)∧A→B分离规则）BB→C(已证）C(分离规则）C→D(已证）D(分离规则）其实，这也就是蕴涵的传递性，A→BB→CA→CC→DA→DAD也可以这样表示：(A→B)∧(B→C)∧(C→D)→D或（A,B,C)→D（2）分析法：反过来，如果从题段出发，寻求它的论据，直至归结到题设，这种思考方法就叫分析法。分析法的思考顺序是执果索因的顺序，是从D上溯寻求其论据，如C、C1、C2等，而后再寻求C、C1、C2等的论据B、B1、B2、B3、B4等，如果其中之一如B的结论恰为已知条件A，于是命题的推证途径就得到了。由于理论论据是有限的且维数不多，因而执果索

7、因是较为容易的。分析法的逻辑依据同综合法一样，只是顺序相反，即C→D,B→C,A→B.即((C→D)∧(B→C)∧(A→B))→D由于合取的交换性和结合性，它显然是和综合法一样合理。例1已知a>b>0,求证a−bb>0,∴bb,∴a−bb>0,则只须证明2（a−b）0,b>0,则只须证明b

8、