2017-2018学年高中数学 第二章 推理与证明章末小结与测评创新应用学案 新人教a版选修1-2

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1、第二章推理与证明　　归纳推理的四个特点(1)前提：几个已知的特征现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象，该结论超越了前提所包括的范围．(2)结论：具有猜测的性质，结论是否真实，还需经过逻辑证明和实践检验，因此，归纳推理不能作为数学证明的工具．(3)步骤：先搜集一定的事实资料，有了个别性的、特殊性的事实作为前提，然后才能进行归纳推理，因此归纳推理要在观察和试验的基础上进行．(4)作用：具有创造性的推理，通过归纳推理能够发现新事实，获得新结论，是科学发现的重要手段．[典例1]　(1)观察下列不等式1＋<，1＋＋<，1＋＋＋<，……照此规律，第

2、五个不等式为________．(2)如图所示是一个有n层(n≥2，n∈N*)的六边形16点阵，它的中心是一个点，算作第1层，第2层每边有2个点，第3层每边有3个点，…，第n层每边有n个点，则这个点阵共有________个点．解析：(1)第n(n＝1,2,3)个不等式的左边为前n＋1个正整数平方的倒数和，右边分母为n＋1，分子为2n＋1，故第五个不等式为1＋＋＋＋＋<.(2)设第n层共有an个点，结合图形可知a1＝1，a2＝6，…，an＋1＝an＋6(n≥2，n∈N*)，则an＝6＋(n－2)×6＝6n－6(n≥2，n∈N*)，前n层所有点数

3、之和为Sn＝1＋＝3n2－3n＋1，故这个点阵共有3n2－3n＋1个点．答案：(1)1＋＋＋＋＋<(2)3n2－3n＋1[对点训练]1．观察下列图形中小正方形的个数，则第n个图形中有________个小正方形．解析：设第n个图形中小正方形的个数为Sn，观察图形，当n＝1时，S1＝2＋1；当n＝2时，S2＝3＋2＋1；当n＝3时，S3＝4＋3＋2＋1；当n＝4时，S4＝5＋4＋3＋2＋1；当n＝5时，S5＝6＋5＋4＋3＋2＋1；…，可得Sn＝(n＋1)＋n＋(n－1)＋…＋3＋2＋1＝＝.答案：　　类比推理的特点是：对两类具有某些类似性质的

4、对象，若其中一类对象具有某些已知性质，推出另一类对象也具有这些性质．16(1)类比是以已知知识作基础，推测新的结果，具有发现的功能．(2)常见的类比推理情形有：平面与空间类比；向量与数类比；不等与相等类比等．[典例2]　在△ABC中，若AB⊥AC，AD⊥BC于D.则＝＋，类比以上结论写出四面体ABCD中，类似的命题，并给出证明．解：猜想：在四面体ABCD中，若AB、AC、AD两两垂直，且AE⊥平面BCD，E为垂足，则＝＋＋.证明：如图所示，连接BE交CD于F，连接AF.∵AB⊥AC，AB⊥AD，AC∩AD＝A，∴AB⊥平面ACD.而AF⊂平

5、面ACD，∴AB⊥AF.在Rt△ABF中，AE⊥BF，∴＝＋.在Rt△ACD中，AF⊥CD，∴＝＋.∴＝＋＋.故猜想正确．[对点训练]2．在平面直角坐标系xOy中，二元一次方程Ax＋By＝0(A，B不同时为0)表示过原点的直线．类似地：在空间直角坐标系Oxyz中，三元一次方程Ax＋By＋Cz＝0(A，B，C不同时为0)表示____________________．解析：由方程的特点可知：平面几何中的直线类比到立体几何中应为平面，“过原点”类比仍为“过原点”，因此应得到：在空间直角坐标系Oxyz中，三元一次方程Ax＋By＋Cz＝0(A，B，C

6、不同时为0)表示过原点的平面．答案：过原点的平面163．如图，已知O是△ABC内任意一点，连接AO，BO，CO并延长交对边于A′，B′，C′，则＋＋＝1.这是平面几何中的一道题，其证明常采用“面积法”：＋＋＝＋＋＝＝1.运用类比猜想，对于空间中的四面体VBCD，存在什么类似的结论？并用“体积法”证明．解：如图，设O为四面体VBCD内任意一点，连接VO，BO，CO，DO并延长交对面于V′，B′，C′，D′，类似结论为＋＋＋＝1.类比平面几何中的“面积法”，可用“体积法”来证明．因为＝＝(其中h′，h分别为两个四面体的高)，同理＝，＝，＝，所以

7、＋＋＋＝＋＋＋＝1.综合法和分析法是直接证明中的两种最基本的证明方法，但两种证明方法思路截然相反，分析法既可用于寻找解题思路，也可以是完整的证明过程，在解题中综合法和分析法可以联合运用，转换解题思路，增加解题途径．[典例3]　已知α∈(0，π)，求证：2sin2α≤.证明：法一：(分析法)　要证明2sin2α≤成立，只要证明4sinαcosα≤.16∵α∈(0，π)，∴sinα＞0.只要证明4cosα≤.上式可变形为4≤＋4(1－cosα)．∵1－cosα＞0，∴＋4(1－cosα)≥2＝4，当且仅当cosα＝，即α＝时取等号，∴4≤＋4(

8、1－cosα)成立，∴不等式2sin2α≤成立．法二：(综合法)∵＋4(1－cosα)≥4，当且仅当cosα＝，即α＝时取等号，∴4cosα≤.∵α∈(0，π)，∴sinα＞0，