高考数学复习点拨 用几何法巧解双曲线问题

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1、用几何法巧解双曲线问题双曲线的定义有明显的几何意义，在处理双曲线问题时，如涉及一些线段的长度、比值时，巧用平面几何知识，常可使问题变得简单易解．现举例如下：１．巧用中位线性质例１　已知Ｑ点是双曲线＞０，＞０）上异于二顶点的一动点．、是双曲线的左、右焦点，从点向的平分线作垂线P，垂足为P点，求P点的轨迹方程．ＯF2F1AQ图1P解：如图１，设Ｐ的延长线交Ｑ于Ａ点，则由平几知识知：，连结OP,由三角形中位线性质知：∴若点Ｑ在双曲线的左支上时，应为，即．故点Ｐ的轨迹方程为．评注：本题运用双曲线的定义，结合三角函数的中位线定理，巧妙证题．２．巧用圆的有关性质例２　若Ｍ为双曲线＞０，＞０）上

2、异于顶点的右支上任一点，双曲线焦点为，设．求的值．Ｏ图2F1F2MN解：如图２，作的内切圆，Ｎ为圆与轴的切点．则＝∵　又由切线长定理知∴　　∴＝．评注：本题运用双曲线的定义，结合切线长定理，优化了解题过程．３．巧用平行四边形性质例３　求证：等轴双曲线上一点到中心的距离是它到两个焦点的距离的等比中项．证明：设等轴双曲线方程为，则，是双曲线上任一点．，是它的两个焦点，（如图3）F1F2PＯ图3由平几知识得：由双曲线定义得：　即而．∴．∴．　故结论成立．评注：本题运用双曲线的定义，结合平行四边形的性质，使问题获得解决，过程简单明了．