数值分析历届考题

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1、数值分析历届考题03-04学年秋季学期一．简答题（每小题5分）1.数值计算中要注意哪些问题。答：第一、两个相近的数应避免相减。第二、绝对值很小的数应避免作除数。第三、注意选取适当的算法减少运算次数。第四、两个绝对值相差很大的数运算时，注意“机器零”的问题。第五、注意算法的收敛性和稳定性。2.用迭代法求解非线性方程时，迭代收敛的条件是什么，可以用什么方法来确定初值。答：对于非线性方程（其迭代格式为），如果满足：（1）当时，；（2）在上连续，且对任意的都有。则有结论：对任意给定的，由迭代格式，k=0,1,2,…产生的序列收敛于，即迭代

2、收敛。可以用二分法来确定初值。3.用消元法求解线性方程组时，为什么要选主元。答：因为用简单高斯消元法求得的近似解与精确解相差甚远，其主要原因是绝对值很小的数作除数，导致了误差的快速增长。为了避免这种情况的发生，我们可以通过行交换，在需要消元的列中，取绝对值最大者作为主对角线元素（即主元），计算效果将得到改善。4.矩阵的条件数是什么，它对求解线性方程组有什么影响。答：对于n阶可逆方阵A，正实数

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10、称为A的条件数，记为cond(A)。条件数对于线性方程组Ax=b的影响如下：，其中为A精确时b产生的误差；，其中为b精确时A产

11、生的误差。1.把下列二阶常微分方程的初值问题化为一阶常微分方程组，并写出求解该方程的改进Euler方法。答：令则，其中。所以用改进的Euler方法表示为：，，，，。一．（20分）给出数据表x012f(x)212f’(x)-1求一个满足插值条件的三次插值多项式，并写出余项公式。解：先求出满足函数值插值条件，i=0，1，2的二次插值多项式。ixf(x)一阶差商二阶差商102211-132211由牛顿插值公式：令，其中A是待定常数，则，由已知条件，代入可得：；所以。其插值余项为，其中。一．（20分）给出数据表x0.10.20.40.5y

12、10.80240.61740.53023用最小二乘法求拟合曲线（保留3位小数）。解：对于曲线，令，，得。把x，y的数据转换为t，z的数据（取3位有效数字）：t=1/x2.002.505.0010.0z=1/y1.891.621.251.00对于，其法方程组为：；其中：，，，数据代入后得法方程组为；解得。所以拟合曲线为。一．（15分）确定下列求积公式的系数，，，使公式成为Guass型求积公式。解：通过待定系数法：当时，有（1）当时，有（2）当时，有（3）由此得到一个关于未知数，，的线性方程组：；解得。二．（20分）证明：对任意参数t

13、（）下列求解常微分方程初值问题的算法，其局部截断误差都是c：。证：令，则（1）对作泰勒展开得：。代入到（1）式中：由于在的条件下。即对任意参数t，上述求解微分方程初值问题的算法其局部截断误差都是。一．（16分）证明：下列求解常微分方程初值问题的数值方法，其局部截断误差为。证：在的条件下将上述两式代入中，可得：由于在的条件下。所以上述求解微分方程初值问题的算法其局部截断误差都是。05-06学年秋季学期一．简答题（每小题4分，共20分）1.设x=0.06020，y=0.0418是按四舍五入得到的近似值，则x+y，xy的绝对误差限，相对

14、误差限，有效数字各是多少。答：，；，所以x+y三位有效，；，所以x/y三位有效，2.同03-04学年秋季学期第一题33.在解线性方程组时，原始数据的误差对解的影响如何；对病态方程组可以采用什么方法处理。答：原始数据的误差对于线性方程组Ax=b的影响如下：，其中为A精确时b产生的误差；，其中为b精确时A产生的误差；其中cond(A)=

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22、为条件数。对于病态方程组，可以使用迭代改善的方法处理。1.给出三个等距节点，，，及其相应的函数值，试导出二阶数值导数的计算公式。答：以这三个点为节点的基本插值多项式为：，，；求二阶导得：

23、，；设，i=0，1，2。则。2.用数值方法求解常微分方程时，怎样选择合适的步长。答：先选取一个步长h，计算和，如果，则将步长逐次减半，直到为止。如果对于初始步长h，就有，则尝试将步长逐次加倍，知道满足的最大步长。一．（16分）给出数据表x123f(x)2412f’(x)3求一个3次插值多项式；并证明其余项公式为解：先求出满足函数值插值条件，i=0，1，2的二次插值多项式。ixf(x)一阶差商二阶差商1122242331283由牛顿插值公式：令，其中A是待定常数，则，由已知条件，代入可得：；所以。由插值条件可知，是R(x)的二重零点

24、，和是R(x)的单重零点，所以，其中K(x)是待定函数。令，当的4阶导数连续时，反复用罗尔定理，可得，所以。一．（16分）给出一组数据X1.001.251.501.752.00Y8.467.456.535.795.10用最小二乘法求拟合曲线。解：对