也谈数学解题中逆向思维的应用

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1、也谈数学解题中逆向思维的应用也谈数学解题中逆向思维的应用　　引言　　在数学教学中，运用逆向思维解题，能够使我们从不同角度和不同的方向去思考和探索问题，去拓宽学生的解题思路，使学生更灵活、更快捷地解决数学问题。由于数学定义，公式都有可逆性，不少数学定理、数学运算以及解题过程也有可逆性，这些可逆性理论为逆向思维提供了理论依据。下面，结合多年教学实践，通过部分实例，谈谈逆向思维在中学数学解题教学中的具体应用。　　一、定义教学中　　定义法是常见的一种解题方法，定义的逆用，往往更能有效的解决问题，更能使学生深刻理解概念的本质

2、。　　例1若化简

3、1-x

4、

5、x-4

6、的结果为2x-5，求x的取值范围。　　分析：原式=

7、1-x

8、-

9、x-4

10、　　根据题意，要化成：x-1-（4-x）=2x-5　　从绝对值定义的反向考虑，推出条件是：　　1-x≤0，且x-4≤0　　∴x的取值范围是：1≤x≤4　　二、公式教学中　　对于公式既要掌握其正用，又要灵活掌握其逆用变用。逆用和变用就是逆向思维。逆用公式（包括公式变形的逆用），往往可以使问题简化，经常性地注意这方面的训练可以培养学生思维的灵活性、变通性，使学生养成善于逆向思

11、维的习惯，提高灵活运用知识的能力。公式逆用是学生常常感到困惑的一个问题，也是教学中的一个难点，教学中必须强化这方面的训练。　　例2设两个自然数的和是20，求这两个数乘积的最大值。　　解：逆用完全平方公式：　　设两个自然数是a、b，且a+b=20，则ab=1/4〔（a+b）2-（a-b）2〕=1/4[202-（a-b）2]　　∵（a-b）2≥0∴当a-b=0，本文由.L.收集整理即a=b时，ab有最大值，最大值为100。　　例3计算1.340.342.68-1.343-1.340.342　　解：逆

12、用乘法分配律和完全平方公式：　　原式=-1.34（1.342+0.342-0.342.68）　　=-1.34[（1.34-0.34）2+21.340.34-0.342.68]　　=-1.34[12+0]=-1.34　　例4计算9982　　解：逆用平方差公式：　　原式=9982-22+22=（998-2）（998+2）+4=1000996+4=996004　　三、方法教学中　　1.反证法：就是先假设结论的反面成立，推出与已知或定理矛盾，从而推翻假设，肯定原结论的一种证明方法。这种证明方法，可使许多正面不好解决的变得简

13、单多了。　　例5若a∥b，c∥b.求证a∥c　　证明：假设a与c不平行，则a，c相交，有一个交点O.　　∵a∥b，c∥b，　　∴过点O有两直线a、c与b平行，　　这与过一点有且只有一条直线与已知直线平行矛盾　　∴a∥c　　分析法：即从结论出发，探索使其成立的条件，判断若条件具备，则结论肯定成立。这也是逆向思维的一种运用。　　例6若关于x的不等式（a-1）x>a2-2的解集为x<2，求a的值。　　分析：由不等式性质3，从反向进行分析，得：　　a-1<0，且a2-2=2（a

14、-1）易得，a=0.　　3.换元法：也称代换法，是一种常见的解题方法。即根据题目其结构特征，逆向寻求代换，将问题转化后得以解决。　　例7已知y=x+√（1-x），求y的取值范围。　　若直接入手，有点难度，但可假设：t=√（1-x），得出：x=1-t2　　∴y=1-t2+t=-t2+t+1　　∴y=-（t-0.5）2+1.25　　∴y≤1.25　　例8若方程x2-mx+m+3=0至多有一个负根，试求m的取值范围。　　分析：二次方程的两个根至多有一

15、个负根，则它的反面就是两个根都是负根，从此入手，可解。　　解若方程有两负根，必须同时满足下列不等式：△≥0，x1+x2<0，x1x2>0　　即：m2-4（m+3）≥0，m<0，m+3>0.解不等式组得-3<m≤-2。<br="">　　故要方程至多有一个负根时，m的取值范围是：m≤-3或m>-2。　　四、运算技巧教学中　　例9计算（12+32+52++992）-（22+42+62++1002）　　解原式=（12-22）+（32-42）++（992

16、-1002）　　=（1-2）（1+2）+（3-4）（3+4）++（99-100）（99+100）　　=-（1+2+3+4++99+100）　　=-5050　　式子的化简或证明，一般遵循由繁到简的原则。但为达到整体化简的目的，有时需做有简到繁的工作。　　例10（2+1）（22+1）（24+1）（22n+1）的值是　　解原式=（2-1）（2+1）（22+1）（2