基于mathematica的数值计算

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1、第九讲数值计算6.1求近似函数在生产和实验中,人们经常遇到需要通过某个未知的函数f(x)在有限个给定点的函数值:{xi,yi},i=1,2,….,n,这里f(xi)=yi去获得函数f(x)的近似函数(x),求近似函数(x)的方法主要有拟合方法和插值方法。6.1.1曲线拟合曲线拟合主要用来求一元近似函数,它是根据最小二乘原理的意义下获得近似函数的,此近似函数具有在数据点处的误差平方和最小的特点。记函数集合:M=Span[0,1,2,…,m]={(x)

2、(x)=a00(x)+a11(x)+…+amm(x),aiR}称集合M为

3、函数0,1,2,…,m张成的空间，m+1个函数0(x),1(x),2(x),…,m(x)称为拟合基函数集合,它们都是已知的函数。Mathematica曲线拟合的一般形式为:Fit[{数据点集合},{拟合基函数集合},自变量名]具体的拟合命令有:命令形式1：Fit[{{x1,y1},{x2,y2},...,{xn,yn}},{0,1,2,…,m},x]功能：根据数据点集{{x1,y1},{x2,y2},...,{xn,yn}}求出具有拟合函数为(x)=a00(x)+a11(x)+…+amm(x)形式的近似函数(x

4、)命令形式2：Fit[{y1,y2,...,yn},{0,1,2,…,m},x]功能：根据数据点集{{1,y1},{2,y2},...,{n,yn}}求出具有拟合函数为(x)=a00(x)+a11(x)+…+amm(x)形式的近似函数(x)命令形式3：Fit[{{x1,y1},{x2,y2},...,{xn,yn}},Table[x^i,{i,0,m}],x]功能：根据数据点集{{x1,y1},{x2,y2},...,{xn,yn}}求出拟合函数为m次多项式的近似函数(x)=a0+a1x+a2x2+…+amxm多项式拟合算法

5、输入n+1个拟合点：(xi,yi),i=0,1,…,n根据散点图确定拟合多项式的次数m计算相应正规线性方程组的系数和右端项解正规正规线性方程组，得解：a0*,a1*,…,am*写出拟合多项式*(x)=a0*+a1*x+a2*x2+…+am*xm求m次多项式拟合程序Clear[xi,xx,yi];xi=Input["xi="]yi=Input["yi="]n=Length[xi];h=ListPlot[Table[{xi[[i]],yi[[i]]},{i,1,n}],PlotStyle->PointSize[0.04]]m=Input["多项式

6、次数m="]s=Table[Sum[xi[[k]]^i,{k,1,n}],{i,0,2m}];a=Table[s[[i+j-1]],{i,1,m+1},{j,1,m+1}];Print["a=",MatrixForm[a]];b=Table[Sum[xi[[k]]^i*yi[[k]],{k,1,n}],{i,0,m}];Print["b=",MatrixForm[b]];xx=Table[x[i],{i,1,m+1}];g=Solve[a.xx==b,xx];fa=Sum[x[i]*t^(i-1),{i,1,m+1}]/.g[[1]];p=fa

7、//Np1=Plot[p,{t,xi[[1]],xi[[n]]},DisplayFunction->Identity];Show[{p1,h},DisplayFunction->$DisplayFunction];说明：本程序用于求m次多项式拟合。程序执行后，按要求通过键盘输入拟合基点xi:{x0,x1,...,xn}、对应函数值yi:{y0,y1,…,yn}后，计算机给出散点图和请求输入拟合多项式次数的窗口，操作者可以根据散点图确定拟合多项式的次数通过键盘输入，程序即可给出对应的正规方程组系数矩阵a、常数项b、m次拟合多项式和由拟合函数图形和

8、散点图画在一起的图形。程序中变量说明xi：存放拟合基点{x0,x1,...,xn}yi:存放对应函数值{y0,y1,…,yn}m:存放拟合多项式次数a:存放正规方程组系数矩阵b:存放正规方程组常数项p:存放m次拟合多项式h:存放散点图p1：存放拟合函数图形xx:定义正规方程组变量，存放m次拟合多项式的系数注：语句s=Table[Sum[xi[[k]]^i,{k,1,n}],{i,0,2m}]、a=Table[s[[i+j-1]],{i,1,m+1},{j,1,m+1}]、b=Table[Sum[xi[[k]]^i*yi[[k]],{k,1,n}

9、],{i,0,m}]是用简化的正规方程组编程的。例1．已知一组实验数据x1345678910f(x)1054211234用多项式拟合求其拟合曲线。解