数学物理方法复习提纲

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1、数学物理方法(2)复习提纲第三章第四节概念：若在空间某一区域上定义了一个物理量，这个空间区域就称为场。所定义的物理量则称为场函数。如果场函数是标量，相应的场称为标量场；如果场函数是矢量，相应的场称为矢量场。如果场函数只与空间变量有关，而与时间变量无关时，相应的场称为定常场（或稳定场）。一个矢量场，如果场矢量始终平行于某一固定平面，且在垂直于该平面的任一直线上场矢量的大小和方向均不改变，这样的场称为平面场。平面场中的一点实际上是指过该点而与固定平面相垂直的一条直线。平面场中的一条曲线实际上是指以该曲线为母线的一个相应的柱面。平面场中的一个区域实际上是指以该

2、区域为横截面的一个相应的柱体。平面场中的一个重要概念是复位势：。其中实部称为力（流）函数；虚部称为势函数。这两个函数的等值线分别称为力线和等势线；力线的方程为；等势线的方程为。要求：熟悉以上概念；给了场函数，会求复位势；给了复位势，会求力函数和势函数并会写力线和等势线方程。典型习题：写出下列复位势所代表的平面静电场的电力线方程和等势线方程：(1)；(2)；(3)；(4)第六章保角变换概念：如果一个解析函数及其反函数在某一区域上均为单值函数，则称该函数为这个区域上的单叶函数。函数单叶性的充要条件是：(1)函数在相应区域上解析；(2)函数的导数不为零。单叶解

3、析函数也称保角变换。保角变换具有保角性。分式线性变换是指，其中系数应满足。它把圆（或直线）变为圆（或直线）；它具有保角性、保圆周性、保对称点性。分式线性变换可以分解为两个整线性变换和一个倒数变换。幂函数把顶点在原点、张角为的角形区域变为顶点仍在原点、张角为的角形区域；根式函数则把顶点在原点、张角为的角形区域变为顶点仍在原点、张角为的角形区域。指数函数把平行于实轴，宽度为的带状区域变为顶点在原点、张角为的角形区域；对数函数则把顶点在原点、张角为的角形区域变为平行于实轴，宽度为的带状区域。要求：熟悉以上概念；会按要求做变换。典型习题：3，9第十一章概念：1、

4、拉氏方程的球对称解是：，相应的直角坐标形式是：；它是除点外全空间上的调和函数；2、拉氏方程的轴对称解是：，相应的直角坐标形式是：；它是除点外全平面上的调和函数。3、第二格林公式：，这里是区域的边界面。4、调和函数的4条基本性质：1)成立公式2)；3)4)极值原理：调和函数的最大值和最小值只能在边界上达到。5、定解问题称为球的狄利克雷问题，它的边界条件属于第一类边条件。它的解法称为镜象法（或格林函数法）。与之相应的格林函数是，其中。（是关于球面的反演点），。相应区域上边值函数为的狄利克雷问题的解则是；在球坐标下，这个解可以进一步转化成。6、在半径为的圆形区

5、域上，二维拉氏方程的格林函数是=，其中。，，点是点关于圆周的对称点。相应区域上边值函数为的狄利克雷问题的解则是（或）；这种问题的解法称为格林函数法（或镜象法）。7、格林函数的定义是：（或），其中满足。它具有对称性，即。8、常见区域上的格林函数：球：；圆：=；上半空间：；上半平面：=；要求：1、熟悉以上概念；记住要记的公式；2、会求球形区域、圆形区域、上半空间和上半平面上的格林函数。典型习题：1、试导出右半平面中的格林函数并求解。2、试导出右半空间中的格林函数并求解。第十三章付氏变换概念：付氏变换的定义：；付氏变换的性质：线性性；乘积定理；卷积定理；象原函

6、数的微商定理；象函数的微商定理基本解的定义：设有微分方程（或定解条件），则称方程的解为微分方程（或定解条件）的基本解。要求：1、熟悉付氏变换的定义；掌握付氏变换的运算性质；会证其中的两个微商定理。2、会用付氏变换求解初值问题；3、熟悉基本解的定义，会用付氏变换求一维热传导方程的基本解。典型习题：例1、例2、5、6第十四章拉氏变换概念：拉氏变换的定义：；拉氏变换的性质：线性性；乘积定理；象原函数的微商定理；象原函数的积分定理；象函数的微商定理；象函数的积分定理；相似定理；位移定理；滞后定理；卷积定理；卷积定义：。要求：1.熟悉拉氏变换的定义；掌握拉氏变换的

7、运算性质；会证其中的两个微商定理。2.熟悉函数(即)、、、、、、和等常见初等函数拉氏变换的象函数。3.会用拉氏变换求解常微初值问题。典型习题：例9、例10、6、7第十七章厄密多项式和拉盖尔多项式概念：1、三种形式的厄密方程：原始形式标准形式阶厄密方程的特征值：；相应的特征函数：或；厄密多项式的微分表达式：厄密多项式的递推公式：；厄密多项式的正交归一关系：其中：权函数是，模是，归一化因子是。2、三种形式的拉盖尔方程：原始形式标准形式阶拉盖尔方程的特征值：；相应的特征函数：或；拉盖尔多项式的微分表达式：广义拉盖尔多项式的递推公式：；；狭义拉盖尔多项式的递推公

8、式：；拉盖尔多项式的正交归一关系：其中：权函数是，模是，归一化因子是。3、斯图谟